Question

9^x-75*3^(x-1)-54=0 Решите уравнение

Answer 1

Для решения уравнения 9^x - 75 * 3^(x-1) - 54 = 0 сначала попробуем упростить его.

Заметим, что 75 = 3 * 25 и 54 = 3 * 18. Также, 3^(x-1) можно представить как (3^x) / 3. Теперь уравнение выглядит следующим образом:

9^x - 3 * 25 * (3^x / 3) - 3 * 18 = 0

Далее, можно применить свойства степеней с одинаковым основанием. Так как 9 = 3^2, мы можем представить 9^x как (3^2)^x, что равносильно 3^(2x).

Теперь уравнение выглядит следующим образом:

3^(2x) - 3 * 25 * (3^x / 3) - 3 * 18 = 0

Мы можем упростить его, сократив 3 и вынеся общий множитель из двух слагаемых:

3^(2x) - 25 * 3^x - 18 = 0

Теперь давайте заменим переменную 3^x на новую переменную y:

y^2 - 25y - 18 = 0

Мы получили квадратное уравнение относительно y.

Чтобы решить это квадратное уравнение, мы можем воспользоваться формулой дискриминанта и получить значения y. Затем, мы можем найти значения x, используя обратную замену y = 3^x.

Решение квадратного уравнения:

Для уравнения y^2 - 25y - 18 = 0, мы можем использовать формулу дискриминанта, чтобы найти значения y:

Дискриминант (D) = b^2 - 4ac где a = 1, b = -25 и c = -18.

Подставим значения в формулу дискриминанта:

D = (-25)^2 - 4 * 1 * (-18) = 625 + 72 = 697

Теперь, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

y = (-b ± √D) / (2a)

Подставим значения в формулу:

y = (25 ± √697) / 2

Теперь, найденные значения y можно заменить обратно в уравнение y = 3^x, чтобы найти значения x.

Например, если мы возьмем положительное значение y:

y = (25 + √697) / 2

Тогда:

3^x = (25 + √697) / 2

Чтобы найти значения x, мы можем применить логарифмы:

x = log3((25 + √697) / 2)

Аналогично для отрицательного значения y:

y = (25 - √697) / 2

Тогда:

3^x = (25 - √697) / 2

Чтобы найти значения x:

x = log3((25 - √697) / 2)

Таким образом, мы получаем два возможных значения x, одно для каждого значения y.

Обратите внимание, что решение может быть более сложным и требовать дополнительных шагов в зависимости от конкретного уравнения. Но в данном случае, решение сводится к решению квадратного уравнения и замене переменных.