Question

Выручите, плиз! Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках P и T соответственно. Докажите, что BP=DT

Answer 1

Для доказательства равенства \(BP = DT\) в параллелограмме \(ABCD\), воспользуемся свойствами параллелограмма и теоремой о пересекающихся диагоналях.

Обозначим точку пересечения диагоналей как \(O\). Тогда диагонали \(AC\) и \(BD\) делят параллелограмм \(ABCD\) на четыре треугольника: \(APB\), \(BPC\), \(CPD\), и \(DPA\).

Теперь рассмотрим треугольники \(BPC\) и \(DPA\). У этих треугольников общая сторона \(BP = PD\) (это следует из того, что они принадлежат одной и той же стороне параллелограмма).

Также, у этих треугольников общий угол при вершине \(P\) (это следует из того, что прямая \(OT\) проходит через точку \(O\), центр параллелограмма, и делит его на два равных треугольника).

Следовательно, по стороне-угол-стороне (СУС) треугольников \(BPC\) и \(DPA\) равны. Таким образом, треугольники \(BPC\) и \(DPA\) равны, что означает, что соответствующие им стороны равны: \(BP = DT\).

Таким образом, мы доказали, что в параллелограмме \(ABCD\) стороны \(BP\) и \(DT\) равны, если прямая \(OT\) проходит через точку пересечения диагоналей.