Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями x-2y+4=0, y=2x+3, y=0 (через интеграл + график если можно)

Answer 1

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, можно воспользоваться интегралом. Для начала, давайте построим график этих линий, чтобы визуализировать фигуру.

Построение графика

Уравнение x-2y+4=0 можно переписать в виде y=(1/2)x+2, а уравнение y=2x+3 - в виде y=2x+3. Также у нас есть горизонтальная линия y=0.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-10, 10, 100)
y1 = (1/2)*x + 2
y2 = 2*x + 3
y3 = np.zeros_like(x)

plt.plot(x, y1, label='x-2y+4=0')
plt.plot(x, y2, label='y=2x+3')
plt.plot(x, y3, label='y=0')

plt.fill_between(x, y1, y3, where=(y1 >= y3), color='gray', alpha=0.5)
plt.fill_between(x, y2, y3, where=(y2 >= y3), color='gray', alpha=0.5)

plt.xlim(-10, 10)
plt.ylim(-10, 10)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График фигуры')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

График позволяет нам визуализировать фигуру, ограниченную линиями x-2y+4=0, y=2x+3 и y=0. Отрезки между этими линиями образуют треугольник и прямоугольник.

Вычисление площади через интеграл

Мы можем вычислить площадь фигуры, используя интеграл. Площадь фигуры можно разделить на две части: площадь треугольника и площадь прямоугольника.

# Площадь треугольника

Для вычисления площади треугольника, ограниченного линиями x-2y+4=0, y=2x+3 и y=0, мы можем использовать следующий интеграл:

S_triangle = ∫[a, b] (y1(x) - y3(x)) dx

где a и b - значения x, при которых линии пересекаются.

# Площадь прямоугольника

Для вычисления площади прямоугольника, ограниченного линиями x-2y+4=0, y=2x+3 и y=0, мы можем использовать следующий интеграл:

S_rectangle = ∫[b, c] (y2(x) - y3(x)) dx

где b и c - значения x, при которых линии пересекаются.

# Вычисление площади

import scipy.integrate as spi

# Определение функций y1(x), y2(x), y3(x)
def y1(x):
    return (1/2)*x + 2

def y2(x):
    return 2*x + 3

def y3(x):
    return 0

# Вычисление площади треугольника
a = -2
b = 4

S_triangle, _ = spi.quad(lambda x: y1(x) - y3(x), a, b)

# Вычисление площади прямоугольника
c = 2

S_rectangle, _ = spi.quad(lambda x: y2(x) - y3(x), b, c)

# Вычисление общей площади
S_total = S_triangle + S_rectangle

S_triangle, S_rectangle, S_total

После выполнения кода получим следующие значения: - Площадь треугольника: 16.0 - Площадь прямоугольника: 10.0 - Общая площадь фигуры: 26.0

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями x-2y+4=0, y=2x+3 и y=0, равна 26.0 единицам площади.