Question

На кривой найдите точку, расстояние от которой до точки M(1;-1) будет наименьшим

Answer 1

Расстояние от точки до точки вычисляется по формуле 

$\sqrt{(x_1^2-x_2^2)+(y_1^2-y_2^2)}$

В данном случае пусть $(x_1;\,y_1)$ - точка на параболе, а $(x_2;\,y_2)$ сама точка М (1, -1).

Заметим, что так как первая точка лежит на параболе, то согласно уравнению параболы эта точка принимает вид $(x;\,x-x^2)$

Теперь заново запишем расстояние, исходя из вышесказанного

$\sqrt{(x-1)^2+(x-x^2-(-1))^2}=\sqrt{(x-1)^2+(x-x^2+1)^2}$

Чтобы это расстояние было наименьшим, надо взять от него производную и приравнять ее к нулю. Найти точки минимума - это и будет абсциссой параболы.   
$(\sqrt{(x-1)^2+(x-x^2+1)^2})'=\frac{2(x-1)+2(x-x^2+1)*(1-2x)}{2\sqrt{(x-1)^2+(x-x^2+1)^2}}=$

Сократим числитель и знаменатель на  2.

$=\frac{(x-1)+(x-x^2+1)*(1-2x)}{\sqrt{(x-1)^2+(x-x^2+1)^2}}$

Теперь  приравняем к нулю числитель дроби. То есть фактически приравняем к нулю производную

$(x-1)+(x-x^2+1)*(1-2x)=0$

Раскроем скобки

$x-1+x-x^2+1-2x^2+2x^3-2x=0$

Заметим, что все свободные члены сокращаются

$x+x-x^2-2x^2+2x^3-2x=0$ 

Также сокращаются все члены при х.

$-x^2-2x^2+2x^3=0$

$-3x^2+2x^3=0$

$x^2(-3+2x)=0$

$x_1=0$

$-3+2x_2=0$

$2x_2=3$

$x_2=1,5$

Теперь найдем точку минимума. Сама производная, как видно, меняет знак вместе с многочленом в числителе $-3x^2+2x^3$. Обозначим ее за $g(x)=-3x^2+2x^3$.

$g(-1)=-3-2=-5<0,$

$g(1)=-3+2=-1<0$

$g(2)=-3*4+16=4>0$

Как видно, точка х=1,5 - является минимумом функции расстояния.

Чтобы найти у, надо подставить х=1,5 в уравнение параболы

$y=1,5-1,5^2$

$y=1,5-2,25$

$y=-0,75$

Значит точкой самой близкой к М на параболе является точка (1,5; -0,75).

Ответ: (1,5; -0,75).