Question

Решите треугольник ABC, если угол A = 45, угол B = 75, AB = 2 корня из 3

Answer 1

Ответ: ∠C = 60°; BC = 2√2; AC = √2 + √6.

Пошаговое объяснение:

Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.

∠A + ∠B + ∠C = 180°

∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 45° - 75° = 60°.

По теореме синусов: $\dfrac{AB}{\sin \angle C}=\dfrac{BC}{\sin \angle A}=\dfrac{AC}{\sin \angle B}$

$BC=\dfrac{AB\sin\angle A}{\sin \angle C}=\dfrac{2\sqrt{3}\cdot \sin45^\circ}{\sin60^\circ}=\dfrac{2\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\boxed{2\sqrt{2}}$

$AC=\dfrac{BC\sin\angle B}{\sin\angle A}=\dfrac{2\sqrt{2}\cdot \sin75^\circ}{\sin 45^\circ}=\dfrac{2\sqrt{2}\sin75^\circ}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=4\sin75^\circ$

Представим 75 как сумму 45 и 30, тогда

$\sin75^\circ=\sin(30^\circ+45^\circ)=\sin30^\circ\cos45^\circ+\cos30^\circ\sin45^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\bigg(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\bigg)$

$AC=4\sin75^\circ=\dfrac{4}{\sqrt{2}}\bigg(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\bigg)=\boxed{\sqrt{2}+\sqrt{6}}$