Question

При каких значениях параметра а система имеет 4 различных решения?

Answer 1

При каких значениях параметра а система имеет 4 различных решения?$\left\{\begin{matrix} (x+ay-3)(x+ay-3a)=0&\\ x^2+y^2=8 \end{matrix}\right.$

Решение:
Так как в первом уравнение системы произведение то система уравнений распадается на две подсистемы.
$\left\{\begin{matrix} (x+ay-3)(x+ay-3a)=0&\\ x^2+y^2=8 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} \left\{\begin{matrix} &x+ay-3=0 \\ &x^2+y^2=8 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} & x+ay-3a=0\\ & x^2+y^2=8 \end{matrix}\right. \\ \end{array} \right.$

Каждая система уравнений представляет собой прямую x+ay-3=0(x+ay-3a=0) и окружность x²+y²=8 с центров в начале координат и радиусом R=2√2.
Легко показать что при а=0 данные система имеет только два решения так как первое уравнение в первой системе x=3 и первая система решений не имеет, а во второй системе первое уравнение х = 0 и система имеет два решения.
Поэтому для четырех решений необходимо чтобы каждая подсистема уравнений имела 2 решения и a≠0.
$\left[ \begin{array}{ccc} \left\{\begin{matrix} &x = 3-ay \\ &x^2+y^2=8 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} & x = 3a-ay\\ & x^2+y^2=8 \end{matrix}\right. \\ \end{array} \right.$

В первой системе уравнений подставим первое уравнение во второе 
      (3 - ay)² + y² = 8
 9 - 6ay+a²y² +y² = 8
  y²(a² + 1) - 6ay + 1 = 0
Данное уравнение имеет два решения если дискриминант больше нуля                                     D > 0
D = 36a² - 4(a² + 1) = 36a² - 4a² - 4 = 32a² - 4 = 4(8a²-1)   
                          8a² - 1 > 0 
                           a² > 1/8
если a ∈ (-oo;-1/(2√2))U(1/(2√2);+oo)
Во второй системе подставим первое уравнение во второе
                    (3a - ay)²+ y² = 8
                    9a² - 6a²y + a²y² + y² = 8
                      y²(a² + 1) - 6a²x + 9a² - 8 =0
Данное уравнение имеет два решения если дискриминант больше нуля 
                                       D>0
D = 36a⁴ - 4(a²+1)(9a²-8) = 36a⁴ - 4(9a⁴+a²-8)=36a⁴ - 36a⁴ -4a² +32=
= 32 - 4a² =4(8 - a²) 
                 8 - a² > 0 
                 a² < 8 если a∈(-2√2;2√2)
Пересечение интервалов решений двух систем уравнений является интервал a∈(-2√2;-1/(2√2))U(1/(2√2);2√2)

Ответ :a∈(-2√2;-1/(2√2))U(1/(2√2);2√2)