Question

19. Будем называть четырёхзначное число очень счастливым, если все цифры в его десятичной записи различны, а сумма первых двух из этих цифр равна сумме последних двух из них. Например, очень счастливым является число 3140. а) Существуют ли десять последовательных четырёхзначных чисел, среди которых есть два очень счастливых? б) Может ли разность двух очень счастливых четырёхзначных чисел равняться 2015? в) Найдите наименьшее натуральное число, для которого не существует кратного ему очень счастливого четырёхзначного числа.

Answer 1

4-значное число abcd очень счастливое, если:
1) Все 4 цифры в нем разные.
2) a+b = c+d
Составим все суммы пар различных цифр
1=1+0
2=2+0
3=3+0=2+1
4=4+0=1+3
5=5+0=4+1=3+2
6=6+0=5+1=4+2
7=7+0=6+1=5+2=4+3
8=8+0=7+1=6+2=5+3
9=9+0=8+1=7+2=6+3=5+4
10=9+1=8+2=7+3=6+4
11=9+2=8+3=7+4=6+5
12=9+3=8+4=7+5
13=9+4=8+5=7+6
14=9+5=8+6
15=9+6=8+7
16=9+7
17=9+8
а) Существуют, например, от 5032 до 5041.
Два крайних числа, 5032 и 5041 - очень счастливые.
б) Пусть число 1000a+100b+10с+d - большее очень счастливое.
Тогда число 1000a+100b+10с+d - 2015 =
= 1000(a-2)+100b+10(c-1)+(d-5) тоже должно быть очень счастливым.
Система
{ a+b = c+d
{ a-2 + b = c - 1 + d - 5
Подставив 1 уравнение во 2, получаем
-2 = -1 - 5
Это неверно, значит, такой пары чисел нет.
в) Чтобы ответить на этот вопрос, нужно выписать все очень счастливые числа, от 3012 до 9687, и разложить их все на множители.
Это долго и трудно.

Answer 2

а) Сначала посмотрим, какие числа могут быть первыми двумя цифрами очень счастливого четырёхзначного числа. Очевидно, что сумма этих двух цифр не может быть больше 18 (так как максимальная цифра равна 9). Также заметим, что эта сумма должна быть четной, так как она равна сумме двух одинаковых чисел (первой и второй цифры) и сумме двух других одинаковых чисел (третьей и четвёртой цифры).

Теперь рассмотрим последовательность из десяти последовательных четырёхзначных чисел: a, a+1, a+2, ..., a+9. Заметим, что если a - очень счастливое число, то a+5 - очень счастливое число тоже (так как сумма первых двух цифр a равна сумме последних двух цифр a, и эта сумма увеличивается на 5 в последующих числах). Таким образом, нам необходимо найти очень счастливые числа a и a+5 в этой последовательности.

Проверим все возможные случаи для суммы первых двух цифр: 1+2, 2+3, ..., 8+9. Заметим, что ни одно из этих чисел не является чётным и не лежит в интервале от 1 до 18. Таким образом, не существует последовательности из десяти последовательных четырёхзначных чисел, среди которых есть два очень счастливых числа.

б) Рассмотрим два очень счастливых числа: a и b. Заметим, что сумма первых двух цифр a равна сумме последних двух цифр a, и эта сумма также равна сумме первых двух цифр b и сумме последних двух цифр b.

Пусть разность двух очень счастливых чисел a и b равна 2015. Тогда сумма первых двух цифр a должна быть больше суммы первых двух цифр b (так как разность положительна), а сумма последних двух цифр a должна быть меньше суммы последних двух цифр b (так как разность положительна).

Заметим, что сумма первых двух цифр a и сумма последних двух цифр a должны быть одновременно чётными или нечётными (так как это суммы двух одинаковых чисел), аналогично для сумм b. Таким образом, четность сумм a должна быть разной по сравнению с суммами b. Но так как а и b - очень счастливые числа, то их суммы должны иметь одну и ту же четность. Противоречие.

Таким образом, разность двух очень счастливых четырёхзначных чисел не может быть равна 2015.

в) Заметим, что очень счастливое четырёхзначное число не может быть кратным 3, так как сумма его цифр не может быть кратной 3 (так как все цифры различны и сумма от 0 до 9 равняется 45, которое не делится на 3).

Теперь рассмотрим все возможные кратные очень счастливого четырёхзначного числа 11: 1100, 1210, ..., 9900. Заметим, что ни одно из этих чисел не является очень счастливым. Таким образом, наименьшее натуральное число, для которого не существует кратного ему очень счастливого четырёхзначного числа, равно 11.