Question

Найдите все целые числа n, для которых сумма 1!+2!+3!+…+n! является полным квадратом

Answer 1

Рассмотрим полный квадрат $x^2$ и найдем его остаток от деления на 5:

$r = x^2\mod5=(x\cdot x)\mod5=((x\mod5)(x\mod5))\mod5$

$s = x\mod5$ может быть равно 0, 1, 2, 3, 4
если s = 0, то r = 0
если s = 1, то r = 1
если s = 2, то r = 4
если s = 3, то r = 9 mod 5 = 4
если s = 4, то r = 16 mod 5 = 1

видим, что полный квадрат может давать в остатке от деления на 5 только 0, 1 и 4. Но 1!+2!+3! +4! = 33 дает в остатке от деления на 5 тройку, а значит и все последующие суммы тоже, следовательно не могут являться полными квадратами. Из допустимых остается только: 1!=1  и 1! + 2! + 3!=9

ответ 1 и 3

Answer 2

Чтобы найти все целые числа n, для которых сумма 1!+2!+3!+…+n! является полным квадратом, нужно решить уравнение: 1!+2!+3!+…+n! = m^2, где m - целое число.

1! равно 1, 2! равно 2, 3! равно 6, 4! равно 24, 5! равно 120, и так далее.

Мы можем начать с n=1. В этом случае, 1! = 1^2, так что это решение.

Когда n=2, 1!+2! = 1+2 = 3, которое не является полным квадратом.

Когда n=3, 1!+2!+3! = 1+2+6 = 9, что является полным квадратом (3^2).

Мы можем продолжать, проверять каждое последующее значение n.

Когда n=4, 1!+2!+3!+4! = 1+2+6+24 = 33, которое не является полным квадратом.

Когда n=5, 1!+2!+3!+4!+5! = 1+2+6+24+120 = 153, которое также не является полным квадратом.

Мы видим, что следующее полное квадратное значение m^2 после 1^2 и 3^2 будет равно 9^2 = 81. Это означает, что 1!+2!+3!+...+n! должно быть равно 81.

Мы можем продолжать, проверять каждое последующее значение n до тех пор, пока сумма факториалов не превысит 81.

Однако можно заметить, что факториал растет очень быстро и подсчитывается достаточно медленно. Чтобы упростить задачу, можно оценить сумму факториалов для n>4.

Мы знаем, что 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, поэтому сумма 1!+2!+3! равна 1+2+6 = 9. Мы уже использовали это значение, поэтому для n>3 сумма 1!+2!+3!+...+n! будет больше 9.

Таким образом, единственные целые числа n, для которых сумма факториалов является полным квадратом, это n=1 и n=3.