Question

Известно, что уравнение x^2+px+q=110 имеет два различных целых корня, причём p и q — простые числа. Найдите наибольшее возможное значение q.

Answer 1

1) p = 2.
x^2 + 2x + q = 110
x^2 + 2x + 1 = 111 - q
(x + 1)^2 = 111 - q

111 - q должно быть полным квадратом. Если q — максимально возможное, то это квадрат как можно меньшего числа. Перебираем:
111 - q = 1^2: q = 110 — не простое число
111 - q = 2^2: q = 107 — простое!

2) p > 2, тогда p — нечетно. 
x^2 + px + (q - 110) = 0
По теореме Виета сумма корней равна -p, произведение равно q - 110. Сумма двух целых корней оказалась нечётной, значит, это одно чётное число и одно нечётное, поэтому их произведение чётно, значит, q чётно. Единственное чётное простое число это 2, и оно меньше 107, поэтому нас не интересует.

Ответ. 107.

Answer 2

Дано уравнение: x^2 + px + q = 110.

Так как у нас есть два различных целых корня, то можно предположить, что это уравнение можно факторизовать в виде (x - a)(x - b) = 0, где a и b - целые числа.

По свойствам факторизации, из уравнения можно вывести следующие равенства: x^2 + px + q = (x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab = 110.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в обоих выражениях, получаем следующие равенства: p = -(a + b), q = ab.

Также из условия известно, что p и q - простые числа.

Теперь мы можем исследовать возможные значения q, исходя из данной информации.

Если q = 1, то a и b могут быть равными 1 и 1, так как q = ab. Однако, это не удовлетворяет условию, что a и b должны быть различными.

Если q = 2, то a и b могут быть равными 1 и 2, так как q = ab. Теперь проверим условие, что a и b - простые числа: - число 1 не является простым числом, так как у него есть только один делитель - 1, - число 2 является простым числом, так как у него есть ровно два делителя - 1 и 2.

Значит, q = 2 возможно.

Чтобы проверить, существуют ли другие значения q с более большими простыми числами, можем провести аналогичные рассуждения для простых чисел 3, 5, 7 и так далее.

Однако, мы видим, что при q = 2 уже выполняется условие, и нет необходимости искать большее значение q.

Таким образом, наибольшим возможным значением q является 2.