Question

Найдите все решения уравнения (sinx-2cosx)/(2sinx+cosx)=-(1/3), принадлежащая отрезку [0; 2пи]

Answer 1

-3(sinx-2cosx)=2sinx+cosx
-3sinx+6cosx=2sinx+cosx
5cosx=5sinx
cosx=sinx
x={π/4; 5π/4}

Answer 2

Давайте решим уравнение \(\frac{\sin(x) - 2\cos(x)}{2\sin(x) + \cos(x)} = -\frac{1}{3}\) на интервале \([0, 2\pi]\).

Для начала приведем уравнение к более удобному виду. Умножим числитель и знаменатель на \(3(2\sin(x) + \cos(x))\), чтобы избавиться от дроби в знаменателе:

\[3(\sin(x) - 2\cos(x)) = - (2\sin(x) + \cos(x)).\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[3\sin(x) - 6\cos(x) = -2\sin(x) - \cos(x).\]

Теперь сгруппируем все синусы и косинусы:

\[3\sin(x) + 2\sin(x) = 6\cos(x) - \cos(x).\]

\[5\sin(x) = 5\cos(x).\]

Теперь разделим обе стороны на 5:

\[\sin(x) = \cos(x).\]

Это уравнение выполняется, когда угол \(x\) равен \(\frac{\pi}{4}\), потому что на интервале \([0, 2\pi]\) синус и косинус равны друг другу только в точках, где \(x\) равен \(\frac{\pi}{4} + k\pi\), где \(k\) - целое число.

Таким образом, решение уравнения \(\frac{\sin(x) - 2\cos(x)}{2\sin(x) + \cos(x)} = -\frac{1}{3}\) на интервале \([0, 2\pi]\) - это \(x = \frac{\pi}{4} + k\pi\), где \(k\) - целое число.