Question

Найдите последнюю ненулевую цифру значения произведения 40в 50степени⋅ 50 в 40 степени.

Answer 1

Задание № 1:

Найдите последнюю ненулевую цифру значения произведения 40^50*50^40?

РЕШЕНИЕ:

$40^{50}*50^{40}=4^{50}*10^{50}*5^{40}*10^{40}= (2^2)^{50}*5^{40}*10^{50}*10^{40}= \\ =2^{100}*5^{40}*10^{90} =2^{60}*2^{40}*5^{40}*10^{90} = \\ =2^{60}*10^{40}*10^{90}=2^{60}*10^{130}$

10^130 нас не интересует. Попробуем повозводить 2 в степень:

2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32

Пятая степень, как и первая, оканчивается на 2. Образуется своего рода цикл.

Чтобы узнать последнюю цифру степени N, нужно N разделить на 4. Остаток от деления соответствует степени, последняя цифра которой совпадает с последней цифрой степени N. Остаток 0 соответствует 4-ой степени.

60/4=15, остаток 0 – 4 степень оканчивается на 6, значит и 60 степень оканчивается на 6

ОТВЕТ: 6

Answer 2

Чтобы найти последнюю ненулевую цифру значения произведения чисел, мы можем разложить каждое число на простые множители и посмотреть на степени двойки и пятерки в этих разложениях. Последняя ненулевая цифра будет определяться наименьшим значением степени двойки и пятерки.

Давайте разложим числа 40 и 50 на простые множители:

40 = 2^3 * 5^1 50 = 2^1 * 5^2

Теперь возведем каждое число в соответствующую степень:

40^50 = (2^3 * 5^1)^50 = 2^(3*50) * 5^(1*50) = 2^150 * 5^50 50^40 = (2^1 * 5^2)^40 = 2^(1*40) * 5^(2*40) = 2^40 * 5^80

Чтобы найти последнюю ненулевую цифру произведения, нам нужно найти наименьшую степень двойки и пятерки в этих разложениях.

Наименьшая степень двойки:

40^50: 2^150 50^40: 2^40

Наименьшая степень пятерки:

40^50: 5^50 50^40: 5^80

Сравнивая степени двойки и пятерки, мы видим, что в произведении 40^50 * 50^40 наименьшая степень двойки - 2^40, а наименьшая степень пятерки - 5^50.

Теперь, чтобы найти последнюю ненулевую цифру, мы должны умножить 2^40 и 5^50:

2^40 * 5^50 = (2^40) * (5^50) = (2^40) * (5^40) * (5^10)

Мы знаем, что последняя ненулевая цифра будет определяться наименьшим значением степени двойки и пятерки. В данном случае, наименьшее значение степени двойки - 40, а степень пятерки - 10.

Таким образом, последняя ненулевая цифра произведения 40^50 * 50^40 будет определяться значением 2^40 * 5^10.

Последняя ненулевая цифра произведения 40^50 * 50^40 равна 2.

Повторю, что данная информация основана на разложении чисел на простые множители и определении наименьших степеней двойки и пятерки в этих разложениях.