Question

Наименьшее значение функции f(x)=-2,5-5x+x2

Answer 1

f(x) = x^2 - 5x - 2,5.

Старший коэффициент (при x^2) равен 1, то есть положителен. Значит, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, наименьшее значение функция принимает в вершине параболы.

Найдем абсциссу вершины:

x = -b/(2a) = 5/2 = 2,5.

Найдем значение функции в этой точке:

f(2,5) = 6,25 - 12,5 - 2,5 = -8,75.

Ответ: -8,75.

Answer 2

Чтобы найти наименьшее значение функции \(f(x) = -2.5 - 5x + x^2\), нужно использовать метод завершения квадратного трехчлена (completing the square) или найти критические точки функции. Давайте воспользуемся методом завершения квадратного трехчлена.

Функция \(f(x)\) может быть представлена в виде полного квадрата следующим образом:

\[f(x) = a(x - h)^2 + k\]

где \(a\), \(h\) и \(k\) - константы. Поскольку ваша функция имеет вид \(f(x) = x^2 - 5x - 2.5\), давайте приведем ее к виду полного квадрата:

\[f(x) = (x^2 - 5x + \frac{25}{4}) - \frac{25}{4} - 2.5\]

Теперь выражение \((x^2 - 5x + \frac{25}{4})\) представляет собой полный квадрат. Мы можем переписать функцию следующим образом:

\[f(x) = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} - 2.5\]

Теперь наша функция представлена в виде полного квадрата. Для нахождения наименьшего значения функции \(f(x)\) мы можем проанализировать выражение \((x - \frac{5}{2})^2\). Это выражение достигает своего минимального значения, равного нулю, когда \(x - \frac{5}{2} = 0\), то есть \(x = \frac{5}{2}\).

Теперь мы можем подставить этот \(x\) обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение \(f(x)\):

\[f(\frac{5}{2}) = (\frac{5}{2} - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} - 2.5\]

Упростим это выражение:

\[f(\frac{5}{2}) = -\frac{25}{4} - 2.5\]

Теперь найдем числовое значение:

\[f(\frac{5}{2}) = -\frac{25}{4} - \frac{10}{2} = -\frac{35}{4} = -8.75\]

Таким образом, наименьшее значение функции \(f(x)\) равно \(-8.75\) и достигается при \(x = \frac{5}{2}\).