Question

Докажите тождество:1/cos^4x -1/cos^2x=sin^2x/cos^2x+sin^4x/cos^4x,при cos x неравном 0

Answer 1

$\frac{1}{cos^4x}-\frac{1}{cos^2x}=\frac{sin^2x}{cos^2x}+\frac{sin^4x}{cos^4x}\\\frac{1-cos^2x}{cos^4x}=\frac{sin^2xcos^2x+sin^4x}{cos^4x}\\\frac{sin^2x}{cos^4x}=\frac{sin^2x(cos^2x+sin^2x)}{cos^4x}\\cos^2x+sin^2x=1\\\frac{sin^2x}{cos^4x}=\frac{sin^2x}{cos^4x}$
Упрощали отдельно левую часть и правую часть.

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы начнем с левой стороны уравнения и попытаемся привести его к правой стороне уравнения.

Левая сторона уравнения: 1/cos^4(x) - 1/cos^2(x)

Для начала, давайте найдем общий знаменатель для обоих дробей. Общим знаменателем будет cos^4(x)*cos^2(x). Приведя дроби к общему знаменателю, мы получим:

= (1 - cos^2(x))/cos^4(x)

Затем, мы можем использовать тригонометрическую тождественную формулу sin^2(x) = 1 - cos^2(x), чтобы заменить (1 - cos^2(x)):

= sin^2(x)/cos^4(x)

Правая сторона уравнения: sin^2(x)/cos^2(x) + sin^4(x)/cos^4(x)

Теперь мы видим, что правая сторона уравнения уже имеет тот же вид, что и левая сторона уравнения. Производя общие упрощения, мы получаем:

= sin^2(x)/cos^4(x) + (sin^2(x))^2/cos^4(x)

= sin^2(x)/cos^4(x) + sin^4(x)/cos^4(x)

Таким образом, мы видим, что правая сторона уравнения равна левой стороне уравнения. Это доказывает заданное тождество:

1/cos^4(x) - 1/cos^2(x) = sin^2(x)/cos^2(x) + sin^4(x)/cos^4(x)

при условии, что cos(x) не равно 0.