Question

Написать разложение вектора d по векторам a,b,c: d=(6,12,-1), a=(1,3,0), b=(2,-1,1), c=(0,-1,2)

Answer 1

Разложила по базисным векторам a, b, c. Записала векторное уравнение и свела его в систему линейных уравнений. Решая систему получила неизвестные коэффицинты.

Answer 2

Чтобы разложить вектор d по векторам a, b и c, мы можем использовать проекции вектора d на каждый из этих векторов. Проекция вектора d на вектор a обозначается как d_a, на вектор b - d_b, и на вектор c - d_c.

Для вычисления проекции вектора d на вектор a, мы используем формулу:

d_a = (d · a) / |a|,

где "·" обозначает скалярное произведение, а |a| обозначает длину (модуль) вектора a.

Аналогично, проекции вектора d на векторы b и c можно вычислить следующим образом:

d_b = (d · b) / |b|,

d_c = (d · c) / |c|.

Давайте вычислим эти проекции по очереди.

1. Вычисление проекции вектора d на вектор a: - Вычислим скалярное произведение d · a: d · a = 6 * 1 + 12 * 3 + (-1) * 0 = 6 + 36 + 0 = 42. - Вычислим длину вектора a: |a| = √(1^2 + 3^2 + 0^2) = √(1 + 9 + 0) = √10. - Теперь можем вычислить проекцию d_a: d_a = (d · a) / |a| = 42 / √10.

2. Вычисление проекции вектора d на вектор b: - Вычислим скалярное произведение d · b: d · b = 6 * 2 + 12 * (-1) + (-1) * 1 = 12 - 12 - 1 = -1. - Вычислим длину вектора b: |b| = √(2^2 + (-1)^2 + 1^2) = √(4 + 1 + 1) = √6. - Теперь можем вычислить проекцию d_b: d_b = (d · b) / |b| = -1 / √6.

3. Вычисление проекции вектора d на вектор c: - Вычислим скалярное произведение d · c: d · c = 6 * 0 + 12 * (-1) + (-1) * 2 = 0 - 12 - 2 = -14. - Вычислим длину вектора c: |c| = √(0^2 + (-1)^2 + 2^2) = √(0 + 1 + 4) = √5. - Теперь можем вычислить проекцию d_c: d_c = (d · c) / |c| = -14 / √5.

Таким образом, разложение вектора d по векторам a, b и c будет выглядеть следующим образом:

d = d_a * a + d_b * b + d_c * c,

где d_a, d_b и d_c - вычисленные проекции вектора d на каждый из векторов a, b и c.

Подставляя значения проекций, полученные выше, в формулу разложения, мы получим окончательный ответ.