Question

Найдите первообразную функции y = x^2-2x-3 график которой проходит через точку (-1 ;3)

Answer 1

$y = {x}^{2} - 2x - 3 \\ \\ F(x) = \int ( {x}^{2} - 2x - 3)dx = \frac{ {x}^{3} }{3} - {x}^{2} - 3x + C \\ \\ 3 = \frac{ ({ - 1})^{3} }{3} - ( { - 1})^{2} - 3 \times ( - 1) + C \\ \\ 3 = - \frac{1}{3} - 1 + 3 + C \\ \\ C = \frac{4}{3}$
$OTBET: \: F(x) = \frac{x ^{3} }{3} - {x}^{2} - 3x + \frac{4}{3}$

Answer 2

Чтобы найти первообразную функции y = x^2 - 2x - 3, нужно проинтегрировать это выражение.

Для этого используем правила интегрирования:

Интеграл от x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C,

где n - любое действительное число, C - постоянная интегрирования. Применяем это правило к каждому члену выражения:

∫(x^2 - 2x - 3) dx = ∫x^2 dx - ∫2x dx - ∫3 dx =

= (x^3)/3 - (2x^2)/2 - 3x + C.

Таким образом, первообразная функции y = x^2 - 2x - 3:

F(x) = (x^3)/3 - x^2 - 3x + C,

где С - произвольная постоянная.

Теперь найдем значение постоянной С, зная, что график функции проходит через точку (-1, 3).

Подставляем координаты точки в уравнение функции:

3 = (-1)^3/3 - (-1)^2 - 3*(-1) + C.

Упрощаем выражение:

3 = -1/3 - 1 + 3 + C.

Находим С:

3 = 8/3 + C.

C = 3 - 8/3.

C = (9 - 8)/3.

C = 1/3.

Таким образом, искомая первообразная функции y = x^2 - 2x - 3, проходящая через точку (-1, 3):

F(x) = (x^3)/3 - x^2 - 3x + 1/3.