Question

Найти область определения функции z=arcsin(xy). Является ли эта область определения ограниченной? замкнутой?

Answer 1

Ху должен пренадлежать промежутку от -1 до 1
следовательно ООФ - замкнутая единичная окружность

Answer 2

Область определения функции \(z = \arcsin(xy)\) определяется значениями \(x\) и \(y\), для которых арксинус определен. Функция арксинуса (\(\arcsin\)) определена в интервале от -1 до 1. Таким образом, для функции \(z = \arcsin(xy)\) значения \(xy\) должны находиться в интервале [-1, 1].

Учитывая это условие, определим область определения функции:

\[ -1 \leq xy \leq 1 \]

Теперь разберемся, является ли эта область ограниченной и замкнутой.

1. Ограниченность области определения: - Область определения ограничена, потому что значения \(xy\) ограничены интервалом [-1, 1]. Это означает, что функция определена только в определенном диапазоне значений \(x\) и \(y\).

2. Замкнутость области определения: - Область определения не является замкнутой, потому что граничные точки (-1 и 1) не включены в область определения. Включение граничных точек делает область определения замкнутой, но в данном случае граничные точки исключены из интервала.

Итак, область определения функции \(z = \arcsin(xy)\) - это ограниченный интервал \(-1 \leq xy \leq 1\), который не является замкнутым.