Question

Можно ли, не выполняя вычислений, сравнить значения выражений:а) 70∙32+9∙32 … 79∙30+79∙2; б) 87∙70+87∙8 … 80∙78+7∙78Какие теоретические положения для этого будут использованы?

Answer 1

Нет не будут)да можно)

Answer 2

Для сравнения значений этих выражений можно использовать теоретическое положение о сумме арифметической прогрессии.

a) Для выражения a) мы можем заметить, что каждое слагаемое в выражении образовано умножением чисел 79 и 32, причем первое число 79 и последнее число 79 остаются неизменными. Однако, второе число уменьшается на 2 с каждым слагаемым, начиная с 30, что образует арифметическую прогрессию 32, 30, 28, ..., 2. Таким образом, мы можем записать выражение в виде:

70*32 + 9*32 + ... + 79*30 + 79*2 = (70 + 9 + ... + 79) * (32 + 30 + ... + 2).

Сумма первых n членов арифметической прогрессии можно вычислить по формуле: Sn = (a1 + an) * n / 2, где a1 - первый член, an - последний член, n - количество членов. В данном случае, у нас есть 10 членов прогрессии, поэтому:

70 + 79 = 149 (сумма первого и последнего чисел) n = 10 (количество членов)

Теперь мы можем подставить значения в формулу:

(70 + 79) * (32 + 30 + ... + 2) = 149 * (32 + 30 + ... + 2) = 149 * (2 + 4 + ... + 32).

Для нахождения суммы этой арифметической прогрессии, мы можем использовать формулу суммы арифметической прогрессии: Sn = (a1 + an) * n / 2. В данном случае, у нас есть a1 = 2, an = 32 и n = 16 (половина от 10 членов), поэтому:

(2 + 32) * 16 / 2 = 34 * 8 = 272.

Таким образом, значение выражения a) равно 149 * 272 = 40528.

б) Для выражения б) похожий принцип справедлив. Мы можем заметить, что каждое слагаемое образовано умножением чисел 87 и 78, причем первое число 87 и последнее число 87 остаются неизменными. Однако, второе число уменьшается на 8 с каждым слагаемым, начиная с 70, что образует арифметическую прогрессию 70, 62, 54, ..., 8. Таким образом, мы можем записать выражение в виде:

87*70 + 87*8 + ... + 80*78 + 7*78 = (87 + 87 + ... + 87) * (70 + 62 + ... + 8) + 78 * (7 + 1).

Сумма первых n членов арифметической прогрессии 87 + 87 + ... + 87 равна 87*n. В данном случае, у нас есть 16 членов прогрессии, поэтому:

87 * 16 = 1392.

Для суммы прогрессии 70 + 62 + ... + 8 мы также можем использовать формулу суммы арифметической прогрессии. У нас есть a1 = 70, an = 8 и n = 9 (половина от 16 членов), поэтому:

(70 + 8) * 9 / 2 = 78 * 9 = 702.

Таким образом, значение выражения б) равно 1392 * 702 + 78 * (7 + 1) = 977184 + 624 = 977808.