Question

Вычислить пределы функций натурального аргумента lim стремиться к бесконечности ((((n+2)*(n+1))^0.5)-(((n-1)*(n+3))^0.5))*n

Answer 1

$\lim_{n \to \infty} (((n+2)*(n+1))^{0.5}-((n-1)*(n+3))^{0.5})*n=\\ \lim_{n \to \infty} \dfrac{((n+2)*(n+1)-(n-1)*(n+3))*n}{\sqrt{(n+2)*(n+1)}+\sqrt{(n-1)*(n+3)}} =\\ \lim_{n \to \infty} \dfrac{(n+5)*n}{\sqrt{(n+2)*(n+1)}+\sqrt{(n-1)*(n+3)}} =\\ \lim_{n \to \infty} \dfrac{n+5}{\sqrt{(1+\frac{2}{n})*(1+\frac{1}{n})}+\sqrt{(1-\frac{1}{n})*(1+\frac{3}{n})}} =\\ \lim_{n \to \infty} \dfrac{n+5}{1+1} = \infty$

Answer 2

Для вычисления предела данной функции, когда n стремится к бесконечности, мы можем использовать алгебраические операции и свойства пределов.

Начнем с упрощения выражения в скобках:

((((n+2)*(n+1))^0.5) - (((n-1)*(n+3))^0.5)) * n

Мы можем раскрыть скобки, чтобы упростить выражение:

((n+2)*(n+1))^0.5 = ((n^2 + 3n +2))^0.5 = n * (1 + 3/n + 2/n^2)^0.5 ≈ n * (1 + 3/n + O(1/n^2))^0.5 ≈ n * (1 + 3/2n) = n + 3/2

Аналогично,

((n-1)*(n+3))^0.5 = ((n^2 + 2n - 3))^0.5 = n * (1 + 2/n - 3/n^2)^0.5 ≈ n * (1 + 2/n + O(1/n^2))^0.5 ≈ n * (1 + 2/2n) = n + 1

Подставим упрощенные выражения в исходное:

((n + 3/2) - (n + 1)) * n = (n + 3/2 - n - 1) * n = (1/2) * n^2 = O(n^2)

Получили, что данная функция имеет предел O(n^2), когда n стремится к бесконечности.