Question

√(x-1)+ √(x+3) +2√(x-1)(x+3) = 4-2x

Answer 1

√(x-1) +√(x+3) +2√(x-1)(x+3) = 4-2x
---
x>=1

(x-1) +2√(x-1)(x+3) +(x+3) +√(x-1) +√(x+3) -6 =0 <=>
(√(x-1) +√(x+3))^2 +√(x-1) +√(x+3) -6 =0 <=>
---
t= √(x-1) +√(x+3)
t^2 +t -6 =0
t1=-3 (t>0)
t2=2

√(x-1) +√(x+3) =2 <=>
(√(x-1) +√(x+3))(√(x-1) -√(x+3)) =2(√(x-1) -√(x+3)) <=>
(x-1) -(x+3) =2(√(x-1) -√(x+3)) <=>
√(x-1) -√(x+3) =-2

√(x-1) +√(x+3) =2 
√(x-1) -√(x+3) =-2
---
2√(x-1)=0 <=> x=1

Answer 2

Чтобы решить уравнение √(x-1) + √(x+3) + 2√(x-1)(x+3) = 4 - 2x, начнем с приведения подобных членов.

Сначала разделим на две стороны уравнения на 2: √(x-1)/2 + √(x+3)/2 + √(x-1)(x+3) = 2 - x

Затем переместим первые два слагаемых на обратную сторону уравнения: √(x-1)(x+3) = 2 - x - √(x-1)/2 - √(x+3)/2

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней: (x-1)(x+3) = (2 - x - √(x-1)/2 - √(x+3)/2)^2

Раскроем квадрат справа: (x-1)(x+3) = (2 - x - √(x-1)/2 - √(x+3)/2) * (2 - x - √(x-1)/2 - √(x+3)/2)

Распределение: (x-1)(x+3) = 4 - 2x - x*2 + x^2 - x√(x-1)/2 + √(x-1)/2 * x - √(x+3)/2 * x + √(x-1)/2 * √(x+3)/2 - √(x-1)/2 * x - (√(x-1)/2)^2 - √(x+3)/2 * √(x-1)/2 - √(x+3)/2 * x - (√(x+3)/2)^2

Упростим уравнение: x^2 + 2x - x - 3 = 4 - 2x - 2x + x^2 - x√(x-1)/2 + x√(x-1)/2 - √(x-1)(x+3)/2 - √(x+3)(x-1)/2

x^2 + x - 3 = 4 - 4x + x^2 - √(x-1)(x+3)/2 - √(x-1)(x+3)/2

Объединим подобные члены: x^2 + x - 3 = 4 - 4x + x^2 - √(x-1)(x+3)

Упростим уравнение: x + 3 = 4 - 4x - √(x-1)(x+3)

Перенесем все переменные на одну сторону: 4x + √(x-1)(x+3) + x = 4 - 3

Сократим: 5x + √(x-1)(x+3) = 1

Теперь можем выразить корень: √(x-1)(x+3) = 1 - 5x

Когда у любой стороны корня есть только одно слагаемое, возведем всё в квадрат, чтобы избавиться от корня: (x-1)(x+3) = (1 - 5x)^2

Распишем правую часть: (x-1)(x+3) = 1 - 10x + 25x^2

Раскроем скобки: x^2 + 3x - x - 3 = 1 - 10x + 25x^2

Упростим уравнение: x^2 + 2x - 3 = -9x + 25x^2 + 1

Перенесем все переменные на одну сторону: 24x^2 + 11x - 2 = 0

Теперь можем решить квадратное уравнение путем факторизации, использования формулы или графического метода. После нахождения корней подставим их в исходное уравнение, чтобы проверить их правильность.