Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Сделать чертеж.у=х^2+4х+3, у=х+3

Answer 1

1) Находим точки пересечения заданных линий. Для этого решаем систему уравнений
2)Итак, данные линии, представляющие собой параболу и прямую
3)Эти линии образуют замкнутую фигуру, площадь которой вычисляем по указанной формуле

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками уравнений \(y = x^2 + 4x + 3\) и \(y = x + 3\), нужно определить точки их пересечения, а затем найти площадь между ними.

Для начала, найдем точки пересечения уравнений. Пересечение происходит, когда значения \(y\) равны друг другу, так что:

\[x^2 + 4x + 3 = x + 3\]

Преобразуем уравнение и решим его:

\[x^2 + 3x = 0\]

\[x(x + 3) = 0\]

Отсюда получаем два решения: \(x = 0\) и \(x = -3\). Теперь подставим эти значения обратно в одно из уравнений, например, в \(y = x + 3\), чтобы получить соответствующие значения \(y\):

1. При \(x = 0\): \(y = 0 + 3 = 3\) 2. При \(x = -3\): \(y = -3 + 3 = 0\)

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: (0, 3) и (-3, 0).

Чтобы найти площадь между кривыми, нужно интегрировать разность функций от \(x\)-координаты нижней кривой до \(x\)-координаты верхней кривой. В данном случае, нижняя кривая - \(y = x + 3\), а верхняя - \(y = x^2 + 4x + 3\).

Таким образом, площадь \(A\) будет равна:

\[A = \int_{-3}^{0} [(x^2 + 4x + 3) - (x + 3)] \,dx\]

Вычислим этот интеграл:

\[A = \int_{-3}^{0} (x^2 + 3x) \,dx\]

Интегрирование даёт:

\[A = \left[\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2\right]_{-3}^{0}\]

Теперь подставим верхний и нижний пределы:

\[A = \left[0 - 0 - \left(\frac{1}{3}(-3)^3 + \frac{3}{2}(-3)^2\right)\right]\]

\[A = \left[-\frac{1}{3}(-27) - \frac{3}{2}(9)\right]\]

\[A = \left[9 + \frac{27}{2}\right]\]

\[A = \frac{45}{2}\]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками уравнений \(y = x^2 + 4x + 3\) и \(y = x + 3\), равна \(\frac{45}{2}\).