Question

Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 55% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 61% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?​

Answer 1

Ответ:

8,7

Пошаговое объяснение:

{10x+16y=(10+16)×0,55

{x+y=2×0,61.

{10x+16×(1,22-x)=14,3

{y=1,22-x.

{x=0,87

{y=0,35.

Answer 2

Давайте обозначим массу первого раствора как \( m_1 \) и его концентрацию как \( c_1 \), а массу второго раствора как \( m_2 \) и его концентрацию как \( c_2 \).

У нас есть два уравнения, используя информацию из условия:

1. При смешивании обоих растворов получается раствор с концентрацией 55%:

\[ \frac{m_1 \cdot c_1 + m_2 \cdot c_2}{m_1 + m_2} = 55\% \]

2. При смешивании равных масс растворов получается раствор с концентрацией 61%:

\[ \frac{m_1 \cdot c_1 + m_1 \cdot c_2}{2m_1} = 61\% \]

Теперь давайте решим эту систему уравнений. Сначала объединим оба уравнения:

\[ \frac{m_1 \cdot c_1 + m_2 \cdot c_2}{m_1 + m_2} = 55\% \]

\[ \frac{m_1 \cdot c_1 + m_1 \cdot c_2}{2m_1} = 61\% \]

Теперь мы можем решить систему уравнений. Для упрощения расчетов, давайте представим концентрацию в процентах в виде десятичной дроби (например, 55% становится 0,55, 61% становится 0,61).

\[ \frac{m_1 \cdot c_1 + m_2 \cdot c_2}{m_1 + m_2} = 0,55 \]

\[ \frac{m_1 \cdot c_1 + m_1 \cdot c_2}{2m_1} = 0,61 \]

Теперь решим эту систему уравнений. Умножим оба уравнения на общее кратное знаменателей, чтобы избавиться от дробей.

1. Умножим оба уравнения на \(m_1 + m_2\):

\[ m_1 \cdot c_1 + m_2 \cdot c_2 = 0,55 \cdot (m_1 + m_2) \]

2. Умножим оба уравнения на \(2m_1\):

\[ m_1 \cdot c_1 + m_1 \cdot c_2 = 2 \cdot 0,61 \cdot m_1 \]

Теперь мы имеем систему уравнений без дробей:

1. \(m_1 \cdot c_1 + m_2 \cdot c_2 = 0,55 \cdot (m_1 + m_2)\) 2. \(m_1 \cdot c_1 + m_1 \cdot c_2 = 2 \cdot 0,61 \cdot m_1\)

Теперь решим эту систему уравнений. Подставим значения \(c_1\) и \(c_2\):

1. \(m_1 \cdot c_1 + m_2 \cdot c_2 = 0,55 \cdot (m_1 + m_2)\) \(\Rightarrow m_1 \cdot c_1 + m_2 \cdot (1 - c_1) = 0,55 \cdot (m_1 + m_2)\)

2. \(m_1 \cdot c_1 + m_1 \cdot c_2 = 2 \cdot 0,61 \cdot m_1\) \(\Rightarrow m_1 \cdot c_1 + m_1 \cdot (1 - c_1) = 2 \cdot 0,61 \cdot m_1\)

Теперь решим эти уравнения относительно \(m_1\) и \(m_2\).

Первое уравнение:

\[ m_1 \cdot c_1 + m_2 \cdot (1 - c_1) = 0,55 \cdot (m_1 + m_2) \]

\[ m_1 \cdot c_1 + m_2 - m_2 \cdot c_1 = 0,55 \cdot m_1 + 0,55 \cdot m_2 \]

\[ m_1 \cdot c_1 = 0,45 \cdot m_1 + 0,55 \cdot m_2 \]

\[ m_1 \cdot (c_1 - 0,45) = 0,55 \cdot m_2 \]

\[ m_1 = \frac{0,55 \cdot m_2}{c_1 - 0,45} \]

Теперь второе уравнение:

\[ m_1 \cdot c_1 + m_1 \cdot (1 - c_1) = 2 \cdot 0,61 \cdot m_1 \]

\[ m_1 \cdot c_1 + m_1 - m_1 \cdot c_1 = 1,22 \cdot m_1 \]

\[ m_1 = m_1 \]

Это выражение верно для любых значений \(m_1\) и \(m_2\), что ожидаемо, так как мы фактически умножаем оба уравнения на числа, равные 1. Таким образом, у нас нет уникального решения для \(m_1\) и \(m_2\).

Теперь давайте воспользуемся информацией о том, что массы растворов положительны (иначе не имеет смысла). Если \(m_1 > 0\), то \(c_1 - 0,45 > 0\), и, следовательно, \(c_1 > 0,45\).

Теперь у нас есть все необходимые условия для того, чтобы найти \(m_1\):

\[ m_1 = \frac{0,55 \cdot m_2}{c_1 - 0,45} \]

Учитывая, что \(c_