Question

Укажите количество целых чисел, входящих в область значения функции y=12cos3x+5sin3x

Answer 1

$y=12\cos3x+5\sin3x=\sqrt{12^2+5^2}\left(\dfrac{12}{\sqrt{12^2+5^2}}\cos x+\dfrac{5}{\sqrt{12^2+5^2}}\times\right.\\\times\sin x)=13\sin\left(x+\arccos\dfrac5{13}\right)$

y принимает все значения их отрезка [-13, 13], куда попадает 13 * 2 + 1 = 27 целых чисел

Answer 2

Для определения количества целых чисел, входящих в область значений функции y = 12cos(3x) + 5sin(3x), мы должны проанализировать периодичность и амплитуду функции.

Функция y = 12cos(3x) + 5sin(3x) является комбинацией косинуса и синуса с периодом 2π/3. Это означает, что функция будет повторяться каждый раз, когда аргумент (3x) увеличивается или уменьшается на значение 2π/3.

Для определения количества целых чисел, мы можем рассмотреть значения аргумента (3x), при которых функция принимает целочисленные значения. В данном случае, если мы рассмотрим аргумент (3x) в диапазоне от 0 до 2π, мы можем найти количество целых чисел, входящих в область значений функции.

Давайте рассмотрим это подробнее. Для начала, давайте установим a = 12 и b = 5, чтобы упростить запись функции:

y = acos(3x) + bsin(3x)

Период функции:

Период функции можно найти как 2π/|3|, где |3| - абсолютное значение числа 3. В данном случае, период функции равен 2π/3.

Амплитуда функции:

Амплитуда функции может быть найдена с использованием формулы sqrt(a^2 + b^2), где a = 12 и b = 5. В данном случае, амплитуда функции равна sqrt(12^2 + 5^2) = sqrt(144 + 25) = sqrt(169) = 13.

Теперь мы можем определить, при каких значениях аргумента (3x) функция принимает целочисленные значения.

Значения аргумента (3x):

Если мы рассмотрим аргумент (3x) в диапазоне от 0 до 2π, мы можем найти значения, при которых функция принимает целочисленные значения.

Для косинуса, целочисленные значения будут приниматься, когда аргумент (3x) равен π/2, 3π/2, 5π/2 и т.д. Для синуса, целочисленные значения будут приниматься, когда аргумент (3x) равен 0, π, 2π и т.д.

Таким образом, целочисленные значения функции y = 12cos(3x) + 5sin(3x) будут приниматься при значениях аргумента (3x), равных π/2, 3π/2, 5π/2 и т.д. для косинуса и 0, π, 2π и т.д. для синуса.

Количество целых чисел:

Мы можем заметить, что каждый раз, когда значение аргумента (3x) увеличивается или уменьшается на 2π/3, функция y = 12cos(3x) + 5sin(3x) будет принимать целочисленные значения.

Таким образом, количество целых чисел, входящих в область значений функции y = 12cos(3x) + 5sin(3x), можно определить, разделив период функции на значение 2π/3:

Количество целых чисел = (2π/3) / (2π/3) = 1

Таким образом, в область значений функции y = 12cos(3x) + 5sin(3x) входит одно целое число.