Question

Исследуйте функцию c помощью произведений и постройте её график y=-x^4+8x^2+9

Answer 1

X^2=z
-Z^2+8Z+9=0
D=64+4*9=100
Z1=(-8-10)/(-2)=9
Z2=(-8+10)/(-2)=-1
X1=3,X2=-3

Answer 2

Конечно, давайте рассмотрим функцию \(y = -x^4 + 8x^2 + 9\) подробно.

1. Нахождение производных:

Начнем с нахождения производных функции по \(x\):

- Первая производная: \[y' = \frac{dy}{dx} = -4x^3 + 16x\]

- Вторая производная: \[y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = -12x^2 + 16\]

- Третья производная: \[y''' = \frac{d^3y}{dx^3} = -24x\]

- Четвертая производная: \[y'''' = \frac{d^4y}{dx^4} = -24\]

2. Точки экстремума:

Точки экстремума определяются, когда первая производная равна нулю:

\[ -4x^3 + 16x = 0 \]

\[ x(-4x^2 + 16) = 0 \]

\[ x(x^2 - 4) = 0 \]

Отсюда получаем корни \(x = 0, x = 2, x = -2\).

3. Исследование знаков производных:

3.1 Исследование интервалов:

- Интервал I: \((- \infty, -2)\) - \(y' < 0\) (отрицательный) - функция убывает. - \(y'' < 0\) (отрицательный) - функция выпукла вниз.

- Интервал II: \((-2, 0)\) - \(y' > 0\) (положительный) - функция возрастает. - \(y'' > 0\) (положительный) - функция выпукла вверх.

- Интервал III: \((0, 2)\) - \(y' > 0\) (положительный) - функция возрастает. - \(y'' > 0\) (положительный) - функция выпукла вверх.

- Интервал IV: \((2, +\infty)\) - \(y' < 0\) (отрицательный) - функция убывает. - \(y'' > 0\) (положительный) - функция выпукла вверх.

4. Построение графика:

Давайте построим график функции \(y = -x^4 + 8x^2 + 9\):

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Функция
def f(x):
    return -x4 + 8*x2 + 9

# Диапазон значений x
x = np.linspace(-3, 3, 400)
# Значения y
y = f(x)

# Построение графика
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, y, label='$y = -x^4 + 8x^2 + 9$')
plt.title('График функции')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

Этот код создаст график функции в диапазоне от -3 до 3. Вы можете видеть форму функции, точки экстремума и направления возрастания/убывания на различных интервалах.