Question

На окружность радиуса 1 случайным образом поставлены 2-е точки. найти вероятность того что меньшая из дуг, заключенных между ними превосходит pi\3

Answer 1

Возможно.
2П-П/3=5П/3
(5П/3)/2П=5/6

Answer 2

Давайте рассмотрим ситуацию более подробно. У нас есть окружность радиуса 1, и на ней случайным образом выбраны две точки. Мы хотим найти вероятность того, что меньшая из дуг, заключенных между этими точками, превосходит \( \frac{\pi}{3} \).

Для начала, представим себе, что мы выбираем первую точку на окружности. Это можно сделать с равной вероятностью для любой точки на окружности, так как у нас нет дополнительной информации о том, где находится первая точка.

Теперь, после выбора первой точки, мы должны выбрать вторую точку. Вероятность выбрать какую-то конкретную точку на окружности равна \( \frac{1}{2\pi} \), так как окружность имеет длину \( 2\pi \), и любая точка на окружности равновероятна.

Таким образом, вероятность выбрать конкретную пару точек (первую и вторую) на окружности равна \( \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{1}{2\pi} = \frac{1}{4\pi^2} \).

Теперь давайте рассмотрим условие, что меньшая из дуг, заключенных между этими точками, превосходит \( \frac{\pi}{3} \). Поскольку у нас есть две точки, меньшая из дуг будет соответствовать дуге между этими точками. Если эта дуга больше \( \frac{\pi}{3} \), то условие выполняется.

Поскольку длина всей окружности равна \( 2\pi \), то дуга между двумя точками на окружности будет равна длине всей окружности умноженной на отношение угла между точками к полному углу вокруг окружности. Таким образом, длина дуги между двумя точками равна \( 2\pi \cdot \frac{\text{угол между точками}}{360^\circ} \).

Мы хотим, чтобы эта дуга была больше \( \frac{\pi}{3} \), поэтому:

\[ 2\pi \cdot \frac{\text{угол между точками}}{360^\circ} > \frac{\pi}{3} \]

Решив это неравенство, мы получим:

\[ \text{угол между точками} > 60^\circ \]

Таким образом, чтобы условие выполнялось, угол между точками должен быть больше \( 60^\circ \). Вероятность того, что угол между точками больше \( 60^\circ \), можно рассчитать как отношение меры дуги \( \frac{60^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{6} \).

Итак, итоговая вероятность того, что меньшая из дуг, заключенных между двумя случайными точками на окружности, превосходит \( \frac{\pi}{3} \), равна произведению вероятности выбора конкретной пары точек (\( \frac{1}{4\pi^2} \)) на вероятность того, что угол между ними больше \( 60^\circ \) (\( \frac{1}{6} \)):

\[ \text{Итоговая вероятность} = \frac{1}{4\pi^2} \cdot \frac{1}{6} \]