Question

Найдите двугранный угол при ребре основания правильной треугольной пирамиды, если угол между её боковыми ребрами равен фи.

Answer 1

опустим высоту пирамиды  из ее вершины на основание тк пирамида правьльная то она падает в точку пересечения медиан основания или бессектрис тк треугольник правильный опустим высоту на сторону основания то есть высоту треугольника    в боковой грани из вершины пирамиды на сторону равностороннего треугольника.тогда угол между гранями будет являтся углом между oa и этой высотой где o-точка падения высоты пирамиды a -пересечение медианы со стороной  пусть сторона основания равна a  имеем длинна медианы или бессектрисы равна a*cos30=a*sqrt(3)/2 тк медианы делятся в отношении 2:1 ,то ao=a*sqrt(3)/6 тк треугольник боковой грани равнобедренный то опущенная высота в ней делит угол пополам тк она и бессектриса тогда из прямоугольного треугольника s-вершина пирамиды as=a/2tg(Ф/2) тк она еще и медиана  тогда из прямоугольного треугольника soa находим искомый угол cos(a)=(a*sqrt(3)/6)/(a/2tg(ф/2))=sqrt(3)/3  * tg(ф/2)=tg(ф/2)/sqrt(3)   a=arccos(tg(ф/2)/sqrt(3))

Answer 2

Давайте рассмотрим правильную треугольную пирамиду. Правильная треугольная пирамида имеет основание в форме равностороннего треугольника, и все её боковые грани также равносторонние треугольники.

Пусть \( \phi \) - это угол между боковыми рёбрами пирамиды. Посмотрим на вершину пирамиды и соединим эту вершину с вершинами основания. Получится четыре треугольника: один основной равносторонний треугольник и три равнобедренных треугольника, образованных боковыми гранями.

Так как основание треугольной пирамиды равностороннее, то все углы в основном треугольнике равны \(60^\circ\). Также, так как боковые грани равнобедренные, угол при основании каждого из равнобедренных треугольников равен \(60^\circ\) (половина от \( \phi \)).

Теперь рассмотрим двугранный угол при ребре основания. Этот угол образуется между боковой гранью и основанием. Поскольку у нас три равнобедренных треугольника, мы имеем три таких угла. Таким образом, общий двугранный угол при ребре основания будет равен \(3 \times 60^\circ = 180^\circ\).

Таким образом, двугранный угол при ребре основания правильной треугольной пирамиды равен \(180^\circ\).