Question

Решите в натуральных числах уравнение НОК (a; b) + НОД (a; b) = ab. (НОД – наибольший общий делитель, НОК – наи​меньшее общее кратное). В ответе укажите число a.

Answer 1

НОК (а; в) +НОД (а; в) =ав Кроме того, известно НОК (а; в) *НОД (а; в) =ав x+y=x*y, НОК (а; в) =x, НОД (а; в) =y, x >=y xy-x-y=0 x(y-1)-(y-1)=1 (x-1)(y-1)=1 x-1=1, y-1=1 x=2, y=2 НОК (а; в) =НОД (а; в) =2 a=b=2

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение \(\text{НОК}(a, b) + \text{НОД}(a, b) = ab\) и попробуем разобраться, как его решить.

Заметим, что для любых натуральных чисел \(a\) и \(b\) выполняется следующее тождество:

\[\text{НОК}(a, b) \cdot \text{НОД}(a, b) = ab\]

Теперь мы видим, что у нас есть уравнение, в котором присутствует именно такое произведение \(\text{НОК}(a, b) \cdot \text{НОД}(a, b)\). Таким образом, мы можем записать:

\[\text{НОК}(a, b) + \text{НОД}(a, b) = \text{НОК}(a, b) \cdot \text{НОД}(a, b)\]

Обозначим \(\text{НОД}(a, b)\) за \(d\). Тогда уравнение примет вид:

\[\text{НОК}(a, b) + d = ad\]

Теперь попробуем рассмотреть различные случаи:

1. Если \(d = 1\), то \(\text{НОК}(a, b) + 1 = a\). Это означает, что \(\text{НОК}(a, b)\) должно быть равно \(a - 1\). 2. Если \(d > 1\), то \(\text{НОК}(a, b) + d = ad\). Это означает, что \(\text{НОК}(a, b)\) должно быть равно \(ad - d\).

Таким образом, мы видим, что при \(d = 1\) \(\text{НОК}(a, b) = a - 1\), а при \(d > 1\) \(\text{НОК}(a, b) = ad - d\).

Теперь давайте рассмотрим значения \(a\) для этих случаев:

1. При \(d = 1\), \(\text{НОК}(a, b) = a - 1\). Тогда \(\text{НОД}(a, b) = 1\), и у нас есть условие \(\text{НОК}(a, b) + \text{НОД}(a, b) = ab\). Подставим значения и получим \(a - 1 + 1 = a\), что верно. 2. При \(d > 1\), \(\text{НОК}(a, b) = ad - d\). Тогда \(\text{НОД}(a, b) = d\), и у нас есть условие \(\text{НОК}(a, b) + \text{НОД}(a, b) = ab\). Подставим значения и получим \(ad - d + d = ab\), что также верно.

Таким образом, уравнение выполняется для всех натуральных чисел \(a\).