Question

Найдите площадь фигуры ограниченной линиями y=(3x+2)(1-x) и y=0

Answer 1

У=3х-3х²+2-2х
у=-3х²+х+2

-3х²+х+2=0
3х²-х-2=0
х1=1
х2=-2/3

интеграл от -2/3 до 1 (-3х²+х+2)dx
(-x³+x²/2+2x)| 1 -2/3 = (-1+1/2+2)-(8/27+4/18-1/3)= -1+1/2+2-8/27-2/9+1/3 = 1.31 (кв. ед)

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций \(y = (3x + 2)(1 - x)\) и \(y = 0\), нужно определить точки их пересечения. Точки пересечения соответствуют значениям x, при которых \(y\) равно нулю.

1. Начнем с уравнения \(y = 0\). Когда \(y = 0\), у нас будет \(0 = (3x + 2)(1 - x)\). Решив это уравнение, мы найдем значения \(x\), при которых график этой функции пересекается с осью \(x\).

2. Найденные значения \(x\) подставим в уравнение \(y = (3x + 2)(1 - x)\), чтобы найти соответствующие значения \(y\).

3. После нахождения точек пересечения мы можем использовать метод интегрирования для вычисления площади между кривой и осью \(x\).

Давайте решим уравнение \(0 = (3x + 2)(1 - x)\):

\[0 = (3x + 2)(1 - x)\]

Раскрываем скобки:

\[0 = 3x + 2 - 3x^2 - 2x\]

Упрощаем:

\[0 = -3x^2 - x + 2\]

Теперь решим это квадратное уравнение. Вы можете использовать формулу дискриминанта или факторизацию. Давайте воспользуемся факторизацией:

\[-3x^2 - x + 2 = 0\]

\[-(3x^2 + x - 2) = 0\]

\[-(3x^2 + 2x - x - 2) = 0\]

\[-x(3x + 2) + 1(3x + 2) = 0\]

\[(1 - x)(3x + 2) = 0\]

Таким образом, у нас два корня: \(x = 1\) и \(x = -\frac{2}{3}\). Теперь подставим их обратно в уравнение \(y = (3x + 2)(1 - x)\), чтобы найти соответствующие значения \(y\):

1. При \(x = 1\):

\[y = (3(1) + 2)(1 - 1) = 0\]

2. При \(x = -\frac{2}{3}\):

\[y = \left(3\left(-\frac{2}{3}\right) + 2\right)\left(1 + \frac{2}{3}\right) = -\frac{2}{3}\]

Теперь у нас есть точки пересечения: \((1, 0)\) и \(\left(-\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}\right)\).

Теперь вычислим площадь между графиком функции \(y = (3x + 2)(1 - x)\) и осью \(x\). Используем интеграл:

\[S = \int_{-2/3}^{1} (3x + 2)(1 - x) \,dx\]

Этот интеграл может быть вычислен, чтобы найти площадь фигуры. Результат интегрирования будет являться площадью ограниченной кривой и осью \(x\).