Question

Докажите, что при всех натуральных значениях n значение выражения n (в кубе) + 3n (в квадрате) +2n делится нацело на 6

Answer 1

А разве делится?
n(n²+2+3) = n(n²+5)
А это не делится на 6

Answer 2

Для того чтобы доказать, что выражение n^3 + 3n^2 + 2n делится нацело на 6 при всех натуральных значениях n, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

База индукции:

Для n = 1, мы можем проверить, что значение выражения равно 1^3 + 3(1^2) + 2(1) = 1 + 3 + 2 = 6, что действительно делится нацело на 6.

Шаг индукции:

Предположим, что для некоторого k значение выражения k^3 + 3k^2 + 2k делится нацело на 6. Мы должны показать, что это также выполняется для k + 1.

Выражение для k + 1 будет равно (k + 1)^3 + 3(k + 1)^2 + 2(k + 1). Раскроем скобки и упростим выражение:

(k + 1)^3 + 3(k + 1)^2 + 2(k + 1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 3(k^2 + 2k + 1) + 2k + 2 = (k^3 + 3k^2 + 2k) + 3k + 3 + 3(k^2 + 2k + 1) = (k^3 + 3k^2 + 2k) + 3(k + 1) + 3(k^2 + 2k + 1)

Мы уже знаем, что k^3 + 3k^2 + 2k делится нацело на 6 по предположению индукции. Также, k + 1 и k^2 + 2k + 1 также являются натуральными числами, поэтому их значения также будут целыми числами.

Таким образом, (k + 1)^3 + 3(k + 1)^2 + 2(k + 1) может быть записано как (k^3 + 3k^2 + 2k) + 3(k + 1) + 3(k^2 + 2k + 1), где все три слагаемых делятся нацело на 6. Следовательно, (k + 1)^3 + 3(k + 1)^2 + 2(k + 1) также будет делиться нацело на 6.

Заключение:

Мы доказали, что если значение выражения n^3 + 3n^2 + 2n делится нацело на 6 при некотором натуральном числе n, то оно будет делиться нацело на 6 для любого следующего натурального числа. При этом база индукции показывает, что выражение делится нацело на 6 при n = 1.

Таким образом, мы можем заключить, что при всех натуральных значениях n значение выражения n^3 + 3n^2 + 2n делится нацело на 6.