Question

Интеграл (x^4+1)/(x^2+1)dx найдете не определенные интеграл

Answer 1

=∫(x^2+1)^2/(x^2+1)dx-∫2x^2/(x^2+1)dx=(x^3/3)+x-2∫(x^2+1/(x^2+1)dx+2∫1/(x^2+1)dx=(x^3/3)-x+2arctgx+C

Answer 2

Конечно, рассчитаем данный интеграл:

\(\int \frac{x^4 + 1}{x^2 + 1} \, dx\)

Чтобы вычислить этот интеграл, можно провести деление многочленов \(x^4 + 1\) на \(x^2 + 1\) или воспользоваться методом подстановки. Давайте воспользуемся вторым методом.

Обозначим \(u = x^2 + 1\), тогда \(du = 2x \, dx\).

Используя это, мы можем переписать интеграл следующим образом:

\(\int \frac{x^4 + 1}{x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{x^4 + 1}{x^2 + 1} \cdot 2x \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{x^4 + 1}{u} \, du\)

Теперь давайте разложим числитель дроби на два члена:

\(\frac{x^4 + 1}{u} = \frac{x^4}{u} + \frac{1}{u} = \frac{x^4}{x^2 + 1} + \frac{1}{x^2 + 1}\)

Теперь интеграл принимает вид:

\(\frac{1}{2} \int \left(\frac{x^4}{x^2 + 1} + \frac{1}{x^2 + 1}\right) \, du = \frac{1}{2} \left(\int \frac{x^4}{x^2 + 1} \, du + \int \frac{1}{x^2 + 1} \, du\right)\)

Первый интеграл может быть решен путем подстановки \(v = x^2 + 1\):

\(\int \frac{x^4}{x^2 + 1} \, du = \int \frac{x^4}{u} \, du = \frac{1}{3}u^3 + C_1 = \frac{1}{3}(x^2 + 1)^3 + C_1\)

Второй интеграл представляет собой интеграл от стандартной функции \(\arctan\):

\(\int \frac{1}{x^2 + 1} \, du = \int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| + C_2 = \ln|x^2 + 1| + C_2\)

Таким образом, собирая все вместе, получаем:

\(\frac{1}{2} \left(\frac{1}{3}(x^2 + 1)^3 + \ln|x^2 + 1|\right) + C\)

где \(C\) - константа интегрирования.

Это окончательный ответ для данного неопределенного интеграла \(\int \frac{x^4 + 1}{x^2 + 1} \, dx\).