Question

Двое рабочих работая вместе могут выполнить работу за 2 дня, если сначала 2/3 работы выполнит один, а затем его сменит другой то вся работа будет выполнена за 4 дня. за сколько дней каждый рабочий может выполнить всю работу?

Answer 1

Принимаем вся робота =1.    
 х - к-во дней, за которое 1-й рабочий может выполнить всю работу;
 у - к-во дней, за которое 2-й рабочий может выполнить всю работу;
 Составляем первое уравнение системы:
 1/х+1/у=1/2;
  Составляем второе уравнение системы:
 2/3*х+1/3*у=1/4;
 из первого уравнения х=2у/у-2; подставляем это выражение во второе уравнение, получаем:
 2/3*(2у/у-2)+1/3*у=4.
 Решая его, получаем квадратное уравнение:
 у²-10у+24=0;
Решая квадратное уравнение, получаем корни:
 у₁=6; У₂=4.   Тогда х₁=3;  х₂=4.
 Анализируя корни, приходим к выводу, что:
у₁=4;  х₁=4.
Проверка:  1/4+1/4=1/2  (удовлетворяет первому уравнению системы);
2/3*4+1/3*4=4   (удовлетворяет второму уравнению системы);
 

Answer 2

Предположим, что один рабочий может выполнить всю работу за \( x \) дней. Значит, его производительность (скорость работы) будет равна \( \frac{1}{x} \) часть работы в день.

Если два рабочих работают вместе, то их совместная производительность будет суммой их индивидуальных производительностей. Поскольку первый рабочий выполняет \( \frac{2}{3} \) работы, то его производительность составляет \( \frac{2}{3x} \) части работы в день. Следовательно, второй рабочий, сменяющий первого, имеет производительность \( \frac{1}{x} \) части работы в день.

Таким образом, уравнение для совместной работы двух рабочих выглядит следующим образом:

\[ \frac{2}{3x} + \frac{1}{x} = \frac{1}{2} \]

Умножим обе стороны уравнения на 6x, чтобы избавиться от знаменателей:

\[ 4 + 6 = 3x \]

\[ 10 = 3x \]

\[ x = \frac{10}{3} \]

Таким образом, один рабочий может выполнить всю работу за \( \frac{10}{3} \) дня. Каждый рабочий может выполнять работу со своей индивидуальной производительностью:

Первый рабочий: \( \frac{1}{x} = \frac{1}{\frac{10}{3}} = \frac{3}{10} \) работы в день.

Второй рабочий: \( \frac{1}{x} = \frac{1}{\frac{10}{3}} = \frac{3}{10} \) работы в день.

Таким образом, каждый из рабочих может выполнить всю работу самостоятельно за \( \frac{10}{3} \) дня, и результат согласуется с условием задачи.