Question

В классе 20 учащихся. Назовём «расстоянием» между двумя учащимися количе- ство дней между их датами рождения. 1) Может ли среди всех попарных «расстояний» между семью учащимися встре- титься одно и то же число ровно 10 раз? 2) Может ли среди всех попарных «расстояний» между десятью учащимися встретиться одно и то же число ровно 10 раз, если известно, что в классе нет совпадающих дат рождения? 3

Answer 1

1) Может, например,пусть у 5 учащихся день рождения в один и тот же день А , у шестого в (А+а) день, у седьмого в (А-а)день⇒имеем ровно 10 равных "расстояний", где a∈N, 0< a< 366/2=183, a≠122 , т. к. для високосного года(366 дней) при а=122 будет "расстояние" между шестым и седьмым одиннадцатым, равным а.Существуют и другие расстановки.
2) Если нет совпадающих дат рождения, то год должен быть разбит на 10 равных отрезков - "расстояний" (1,2), (2,3)... (9,10), (10,1), но ни 365, ни 366 не кратно 10⇒ Нет, не может

Answer 2

Давайте разберемся с каждым из вопросов.

1) Может ли среди всех попарных "расстояний" между семью учащимися встретиться одно и то же число ровно 10 раз?

Представим, что у нас есть 7 учащихся, и мы считаем расстояния между каждой парой. Обозначим эти расстояния числами (предположим, что расстояния между днями рождения измеряются в днях):

\[ a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7 \]

Теперь мы хотим, чтобы одно и то же число (скажем, \(d\)) встречалось среди этих расстояний 10 раз. Мы можем записать это уравнение:

\[ a_1 + d = a_2 \] \[ a_2 + d = a_3 \] \[ \ldots \] \[ a_6 + d = a_7 \]

Таким образом, у нас есть 7 уравнений. Однако, если добавить все эти уравнения, мы получим:

\[ a_1 + 2d + a_3 + \ldots + a_6 + 2d = a_7 \]

Это эквивалентно:

\[ a_1 + a_3 + \ldots + a_6 + 2 \cdot 6d = a_7 \]

Это означает, что сумма расстояний между днями рождения семи учащихся увеличится на 12d. Но мы знаем, что эта сумма равна сумме всех чисел от 1 до 6 (так как у нас 7 чисел). Это невозможно, так как сумма чисел от 1 до 6 фиксирована и не зависит от \(d\). Следовательно, невозможно, чтобы одно и то же число встречалось среди расстояний ровно 10 раз.

2) Может ли среди всех попарных "расстояний" между десятью учащимися встретиться одно и то же число ровно 10 раз, если известно, что в классе нет совпадающих дат рождения?

В этом случае мы можем рассмотреть класс из 10 учащихся. Аналогично предыдущему случаю, представим расстояния между парами учащихся:

\[ a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8, a_9, a_{10} \]

Аналогично, мы пытаемся найти число \(d\), которое встречается среди этих расстояний 10 раз. Мы можем записать уравнения:

\[ a_1 + d = a_2 \] \[ a_2 + d = a_3 \] \[ \ldots \] \[ a_9 + d = a_{10} \]

Добавив все уравнения, мы получим:

\[ a_1 + a_3 + \ldots + a_9 + 9d = a_{10} \]

Аналогично предыдущему случаю, сумма расстояний увеличится на 18d. Но сумма чисел от 1 до 9 фиксирована и не зависит от \(d\). Следовательно, невозможно, чтобы одно и то же число встречалось среди расстояний ровно 10 раз, даже если нет совпадающих дат рождения.

Таким образом, ответ на оба вопроса — невозможно.