Question

Составьте уравнение касательной и нормали к данной кривой в данной точке: xy=4 в точке x(0)=1

Answer 1

ОТВЕТ: уравнение нормали в данной точке есть y = 2x - 4
РЕШЕНИЕ:
-------------------------------------------------------------
сразу найдем уравнение касательной, взяв производную:
y =(4-2x)/4 = 1-0,5x,
т. е угловой коэффициент этой прямой равен = -0,5.
Следовательнло, угловой коэффициент нормали есть = 2,
т. к. произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых = -1.
Итак, уравнение нормали^
y = 2x + b, подставив значения х0=2, y0=0,
найдем b = -4,
y = 2x - 4

Answer 2

Чтобы составить уравнение касательной и нормали к данной кривой в заданной точке, нам понадобится найти производные.

Уравнение кривой дано: \(xy = 4\).

Сначала найдем производные по \(x\) и \(y\):

1. По \(x\): \(\frac{d(xy)}{dx} = y + x\frac{dy}{dx}\). 2. По \(y\): \(\frac{d(xy)}{dy} = x + y\frac{dx}{dy}\).

Теперь мы можем найти уравнение касательной и нормали в точке \(x(0) = 1\). Для этого нам нужно найти значения \(y\) и \(\frac{dy}{dx}\) в этой точке.

Подставим \(x = 1\) в уравнение кривой: \(1 \cdot y = 4\), откуда \(y = 4\).

Теперь найдем \(\frac{dy}{dx}\). Для этого подставим \(x = 1\) в уравнение производной по \(x\):

\[ \frac{d(xy)}{dx} = y + x\frac{dy}{dx} \]

\[ \frac{d(1 \cdot y)}{dx} = y + 1 \cdot \frac{dy}{dx} \]

\[ 0 = 4 + \frac{dy}{dx} \]

Отсюда \(\frac{dy}{dx} = -4\).

Теперь у нас есть значение \(y\) и \(\frac{dy}{dx}\) в точке \(x = 1\). Теперь мы можем использовать эти значения для составления уравнений касательной и нормали.

1. Уравнение касательной:

Уравнение касательной в точке \((1, 4)\) будет иметь вид:

\[ y - y_1 = m(x - x_1) \]

где \((x_1, y_1)\) - это точка касания, а \(m\) - угловой коэффициент, равный \(\frac{dy}{dx}\) в данной точке.

Подставим значения:

\[ y - 4 = -4(x - 1) \]

2. Уравнение нормали:

Уравнение нормали в точке \((1, 4)\) будет иметь вид:

\[ y - y_1 = -\frac{1}{m}(x - x_1) \]

где \(m\) - угловой коэффициент касательной.

Подставим значения:

\[ y - 4 = \frac{1}{4}(x - 1) \]

Таким образом, уравнение касательной: \(y = -4x + 8\) и уравнение нормали: \(y = \frac{1}{4}x + \frac{15}{4}\).