Question

При каком значении параметра a областью определеия функции y=2*sqrt((x-a)*(2x+6)) является промежуток (-бесконечность:+бесконечность)

Answer 1

Внесём 2 под корень
 $y= \sqrt{4(x-a)(2x+6)} = \sqrt{2(2x-2a)(2x+6)$
Очевидно что при а = -3 область определения функции будет (-∞;+∞)

Ответ: при a = -3 .

Answer 2

Давайте рассмотрим функцию \( y = 2\sqrt{(x-a)(2x+6)} \) и определим, при каком значении параметра \( a \) область определения функции \( y \) является промежутком \((- \infty, +\infty)\).

Область определения функции - это множество всех возможных значений аргумента, при которых функция определена. В данном случае, функция содержит корень квадратный, и мы не можем извлечь корень из отрицательного числа. Также в знаменателе у нас есть выражение \(2x + 6\), и мы не можем делить на ноль. Поэтому нужно учесть оба эти ограничения.

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: \((x-a)(2x+6) \geq 0\)

2. Знаменатель не должен быть равен нулю: \(2x + 6 \neq 0\)

Давайте решим первое неравенство:

\((x-a)(2x+6) \geq 0\)

Рассмотрим различные интервалы числовой прямой, разбитые точками \(x = a\) и \(x = -3\) (поскольку \(2(-3) + 6 = 0\)):

- Когда \(x < -3\), оба множителя \((x-a)\) и \((2x+6)\) отрицательны, и произведение положительно. - Когда \(-3 < x < a\), первый множитель \((x-a)\) отрицательный, а второй \((2x+6)\) положительный, что дает отрицательное произведение. - Когда \(x > a\), оба множителя положительны, и произведение снова положительно.

Таким образом, мы видим, что неравенство выполняется при \(x < -3\) и \(x > a\).

Теперь решим второе неравенство:

\(2x + 6 \neq 0\)

Решение этого уравнения \(2x + 6 = 0\) даёт \(x = -3\). Таким образом, нужно исключить значение \(x = -3\) из допустимых значений \(x\).

Итак, область определения функции \(y = 2\sqrt{(x-a)(2x+6)}\) на промежутке \((- \infty, +\infty)\) будет:

\[ x \in (-\infty, -3) \cup (-3, a) \]

где \(a\) - произвольное значение, но не равное -3.