Question

вычислить интеграл от хcos2xdx.

Answer 1

int. x*cos2x dx=int. x*(cos^2(x) - sin^2(x))dx=int. cos^2 (t) - sin^2(t) = int. cos^2(t)  - int. sin^2(t) = (cos^3(x) - sin^3(x)) \3

По-моему всё.

Answer 2

Для вычисления интеграла ∫хcos^2(x)dx, мы можем использовать метод интегрирования по частям или формулу замены переменной.

Метод интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям основан на формуле: ∫u * dv = u * v - ∫v * du,

где u и v - это функции, а du и dv - соответствующие дифференциалы.

В данном случае, мы можем выбрать u = х и dv = cos^2(x)dx. Тогда, du = dx и v = ∫cos^2(x)dx.

Для вычисления интеграла v, мы можем использовать формулу половинного угла: cos^2(x) = (1 + cos(2x)) / 2.

Теперь мы можем вычислить интеграл по частям:

∫хcos^2(x)dx = х * (∫cos^2(x)dx) - ∫(∫cos^2(x)dx)dx.

Вычислим первое слагаемое: ∫cos^2(x)dx = ∫((1 + cos(2x)) / 2)dx = (x / 2) + (sin(2x) / 4) + C1, где C1 - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь вычислим второе слагаемое: ∫(∫cos^2(x)dx)dx = ∫((x / 2) + (sin(2x) / 4) + C1)dx = (x^2 / 4) + (x * sin(2x) / 4) + (C1 * x) + C2, где C2 - еще одна произвольная постоянная интегрирования.

Собирая все вместе, получаем окончательный результат: ∫хcos^2(x)dx = (x / 2) + (sin(2x) / 4) + C1 - (x^2 / 4) - (x * sin(2x) / 4) - (C1 * x) - C2.

Таким образом, интеграл от хcos^2(x)dx равен ((3x - x^2) / 4) - (sin(2x) / 4) + C, где C = C1 - C2 - произвольная постоянная.