Question

Полностью иследовать функцию и нарисовать график f(x)=x^4-2x^2+2

Answer 1

                                                   Решение:

1) область определения вся числовая ось
2) нули (0;5)
    x^2=t  t^2-2t+5=0  D<0 
график не пересекает ось Х
(x^2-1)^2+4 
область значения y>0
3) y'=4x^3-4x
    y'=0
    x=0  x=1  x=-1
4) y''=12x^2-4
    y''=0 
     x^2=1/3  x=sqrt(3)/3   x=-sqrt(3)/3 точки перегиба
y''(-1)=12-4>0 минимум   y=1-2+5=4
y''(1) =12-4>0 минимум   y=4
y''(0)=-4 <0 максимум  y=5
5) функция не имеет асимптот
6) при x<-1 функция убывает
    при -1<x<0 функция возрастает
    при 0<x<1 функция убывает
    x>1 функция возрастает
7) f(-x)=f(x) функция четная.

Смотри вложение:....

Answer 2

Давайте рассмотрим функцию \( f(x) = x^4 - 2x^2 + 2 \) более подробно.

1. Нахождение корней уравнения: Для нахождения корней функции \( f(x) \) решим уравнение \( f(x) = 0 \): \[ x^4 - 2x^2 + 2 = 0 \] Заметим, что данное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно \( x^2 \). Решим его сначала: \[ x^2 = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = 1 \pm i \] Таким образом, у уравнения \( x^4 - 2x^2 + 2 = 0 \) нет действительных корней, только комплексные.

2. Анализ поведения функции при \( x \to \pm \infty \): Рассмотрим предел функции при \( x \to \pm \infty \): \[ \lim_{{x \to \infty}} f(x) = \lim_{{x \to -\infty}} f(x) = +\infty \] Это означает, что функция уходит на бесконечность при \( x \to \pm \infty \).

3. Нахождение экстремумов и точек перегиба: Для нахождения экстремумов и точек перегиба найдем производные функции: \[ f'(x) = 4x^3 - 4x \] \[ f''(x) = 12x^2 - 4 \]

Теперь решим уравнение \( f'(x) = 0 \) для нахождения критических точек: \[ 4x^3 - 4x = 0 \] \[ 4x(x^2 - 1) = 0 \] Отсюда получаем \( x = 0 \) и \( x = \pm 1 \) как критические точки.

Теперь найдем вторую производную \( f''(x) \) и оценим её знак в окрестности критических точек: - При \( x < -1 \) или \( -1 < x < 1 \) вторая производная положительна, следовательно, у функции \( f(x) \) минимумы при \( x = -1 \) и \( x = 1 \). - При \( x > 1 \) вторая производная отрицательна, что также указывает на минимум при \( x = 1 \).

Таким образом, у функции есть два локальных минимума: \( x = -1 \) и \( x = 1 \).

4. Построение графика: С учетом вышеописанных результатов, мы можем построить график функции \( f(x) = x^4 - 2x^2 + 2 \), учитывая, что у неё нет действительных корней, функция стремится к бесконечности при \( x \to \pm \infty \), и есть два локальных минимума при \( x = -1 \) и \( x = 1 \).

Для более подробного построения графика и точного отображения характеристик функции можно использовать графические инструменты, такие как программы для построения графиков.