Question

Найти площадь фигуры ограниченной прямыми у=х+x^2, y=0

Answer 1

Найдем точки пересечения
$x+x^2=0 \\ x(1+x)=0 \\ x_1=0 \\ 1+x=0 \\ x_2=-1$
проинтегрируем на этом промежутке
$\int\limits^0_-_1 {(x+x^2)} \, dx = \frac{x^3}{3}+ \frac{x^2}{2}+const$
подставим значения крайних точек
$\frac{(-1)^3}{3}+ \frac{(-1^2)}{2}=- \frac{1}{6}$

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной прямыми \(y = x^2\) и \(y = 0\), нужно вычислить интеграл от \(x\) по области между этими двумя функциями.

Заметим, что точка пересечения \(y = x^2\) и \(y = 0\) это \(x = 0\). Следовательно, пределы интегрирования будут от \(x = 0\) до точки пересечения.

Теперь мы можем записать интеграл для нахождения площади:

\[S = \int_{0}^{1} (x^2 - 0) \, dx\]

Вычислим этот интеграл:

\[S = \int_{0}^{1} x^2 \, dx\]

Интегрируя \(x^2\), получаем:

\[S = \frac{x^3}{3} \Big|_{0}^{1} = \frac{1}{3}\]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной прямыми \(y = x^2\) и \(y = 0\) на интервале от 0 до 1, равна \(\frac{1}{3}\).