Question

Составьте уравнение касательной к графику функции y=2-x/2-x^2 в точке x0=1 СРОЧНОО

Answer 1

Как вижу так и пишу:
$y=2-\frac{x}{2}-x^2;x_0=1\\y'=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\\f'(x)=-\frac{1}{2}-2x\\f'(x_0)=-\frac{1}{2}-2=-2\frac{1}{2}\\f(x_0)=2-\frac{1}{2}-1=\frac{1}{2}\\y'=-2\frac{1}{2}(x-1)+\frac{1}{2}=-2\frac{1}{2}x+2\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=-2,5x+3$

Answer 2

Уравнение касательной
y=f(x0)+f`(x0)*(x-x0)
f(1)=2-1/2-1=1/2
f`(x)=-1/2-2x
f`(1)=-1/2-2=-2 1/2
y=0,5-2,5*(x-1)=0,5-2,5x+2,5=-2,5x+3 касательная

Answer 3

Чтобы составить уравнение касательной к графику функции \(y = \frac{2 - x}{2 - x^2}\) в точке \(x_0 = 1\), мы воспользуемся определением производной.

1. Найдем производную функции \(y\):

\[y = \frac{2 - x}{2 - x^2}\]

Используем правило деления:

\[y' = \frac{(2 - x)'(2 - x^2) - (2 - x)(2x)}{(2 - x^2)^2}\]

Выполним дифференцирование:

\[y' = \frac{(0 - 1)(2 - x^2) - (2 - x)(2x)}{(2 - x^2)^2}\]

\[y' = \frac{x^2 - 2x - 2x + 4}{(2 - x^2)^2}\]

\[y' = \frac{x^2 - 4x + 4}{(2 - x^2)^2}\]

2. Теперь подставим \(x_0 = 1\) в уравнение производной, чтобы найти угловой коэффициент касательной:

\[y'(1) = \frac{1^2 - 4 \cdot 1 + 4}{(2 - 1^2)^2} = \frac{1 - 4 + 4}{1} = 1\]

Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке \(x_0 = 1\) равен 1.

3. Теперь используем найденный угловой коэффициент и точку \(x_0 = 1\) для записи уравнения касательной в виде:

\[y - y_0 = m(x - x_0)\]

где \(y_0\) - значение функции в точке \(x_0\), а \(m\) - угловой коэффициент.

\[y - y_0 = 1(x - 1)\]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции \(y = \frac{2 - x}{2 - x^2}\) в точке \(x_0 = 1\) равно:

\[y = x - 1\]

Это и есть уравнение искомой касательной.