Question

Интеграл (x^4-2x^2-1)/(2x^2+1) dx срочно пожалуйста

Answer 1

$\int{ \frac{ x^4 - 2x^2 - 1 }{ 2x^2 + 1 } } \, dx = \frac{1}{4} \int{ \frac{ 4x^4 - 8x^2 - 4 }{ 2x^2 + 1 } } \, dx = \frac{1}{4} \int{ \frac{ 4x^4 + 4x^2 + 1 - 12x^2 - 5 }{ 2x^2 + 1 } } \, dx = \\\\ = \frac{1}{4} \int{ \frac{ ( 2x^2 + 1 )^2 - 12x^2 - 5 }{ 2x^2 + 1 } } \, dx = \frac{1}{4} ( \int{ \frac{ ( 2x^2 + 1 )^2 }{ 2x^2 + 1 } } \, dx - \int{ \frac{ 12x^2 + 5 }{ 2x^2 + 1 } } \, dx ) = \\\\ = \frac{1}{4} ( \int{ \frac{ ( 2x^2 + 1 )^2 }{ 2x^2 + 1 } } \, dx - \int{ \frac{ 6 ( 2x^2 + 1 ) - 1 }{ 2x^2 + 1 } } \, dx ) = \\\\ = \frac{1}{4} ( \int{ ( 2x^2 + 1 ) } \, dx - \int{ \frac{ 6 ( 2x^2 + 1 ) }{ 2x^2 + 1 } } \, dx + \int{ \frac{1}{ 2x^2 + 1 } } \, dx ) = \\\\ = \frac{1}{2} \int{x^2} \, dx + \frac{1}{4} \int{dx} - \frac{3}{2} \int{dx} + \frac{1}{ 4 \sqrt{2} } \int{ \frac{ d( \sqrt{2} x ) }{ ( \sqrt{2} x )^2 + 1 } } = \\\\ = \frac{1}{6} x^3 - \frac{5}{4} \int{dx} + \frac{1}{ 4 \sqrt{2} } arctg{ \sqrt{2} x } = \frac{ x^3 }{6} - \frac{5}{4} x + \frac{ arctg{ \sqrt{2} x } }{ 4 \sqrt{2} } + C \ ;$


$\int{ \frac{ x^4 - 2x^2 - 1 }{ 2x^2 + 1 } } \, dx = \frac{ x^3 }{6} - \frac{5}{4} x + \frac{ arctg{ \sqrt{2} x } }{ 4 \sqrt{2} } + C \ ;$

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы можем использовать метод частных дробей. Давайте разложим дробь на простейшие дроби и затем проинтегрируем каждую из них.

Разложение на простейшие дроби

Дробь (x^4-2x^2-1)/(2x^2+1) можно разложить на сумму двух простейших дробей следующим образом:

(x^4-2x^2-1)/(2x^2+1) = A*(x^2+1) + B*(2x^2+1)

где A и B - неизвестные коэффициенты, которые мы должны найти.

Нахождение коэффициентов A и B

Чтобы найти значения коэффициентов A и B, мы можем привести уравнение к общему знаменателю и сравнить коэффициенты при одинаковых степенях x.

(x^4-2x^2-1)/(2x^2+1) = (A*(x^2+1) + B*(2x^2+1))/(2x^2+1)

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем следующую систему уравнений:

A + 2B = 1 A + B = -2

Решая эту систему уравнений, мы найдем значения A и B:

A = -3/4 B = 5/4

Интегрирование

Теперь, когда мы знаем значения коэффициентов A и B, мы можем проинтегрировать каждую из простейших дробей:

∫(x^4-2x^2-1)/(2x^2+1) dx = ∫(-3/4)*(x^2+1)/(2x^2+1) dx + ∫(5/4)*(2x^2+1)/(2x^2+1) dx

Упрощая выражение, получаем:

∫(x^4-2x^2-1)/(2x^2+1) dx = (-3/4)∫(x^2+1)/(2x^2+1) dx + (5/4)∫(2x^2+1)/(2x^2+1) dx

Теперь мы можем проинтегрировать каждую из простейших дробей:

∫(x^4-2x^2-1)/(2x^2+1) dx = (-3/4)∫(x^2+1)/(2x^2+1) dx + (5/4)∫(2x^2+1)/(2x^2+1) dx

∫(x^4-2x^2-1)/(2x^2+1) dx = (-3/4)∫(x^2+1)/(2x^2+1) dx + (5/4)∫1 dx

∫(x^4-2x^2-1)/(2x^2+1) dx = (-3/4)∫(x^2+1)/(2x^2+1) dx + (5/4)x + C

Ответ

Таким образом, интеграл ∫(x^4-2x^2-1)/(2x^2+1) dx равен:

(-3/4)∫(x^2+1)/(2x^2+1) dx + (5/4)x + C

где C - произвольная постоянная.