Question

Асимптоты у=(x^3-1)/4x^2 y=9x/9-x^2 y=(x^2-x+1)/x-1

Answer 1

1
у=(x^3-1)/4x^2
D(f)∈(-∞;0) U (0;∞)
x=0-вертикальная асиптота
k=lim(x³-1)/4x³=lim(1/4-1/4x³)=1/4-0=1/4
   x→∞
b=lim[(x³-1)/4x²-x/4]=lim(x³-1-x³)/4x²=lim(-1/4x^2)=0
     x→∞
y=x/4-наклонная асиптота
2
y=9x/9-x^2
D(f)∈(-∞;-3) U (-3;3) U (3;∞)
x=-3 и х=3-вертикальные асиптоты
k=lim9x/[x(9-x²)]=lim9/(9-x²)=0
   x→∞
b=lim(9/(9-x²)-0)=0
   x→∞
наклонных асиптот нет
3
y=(x^2-x+1)/x-1
D(f)∈(-∞;1) U (1;∞)
x=1 вертикальная асиптота
k=lim(x²-x+1)/[x(x-1)]=lim(1+1/(x²-x))=1
   x→∞
b=lim[(x²-x+1)/(x-1)-x]=lim1/(x-1)=0
   x→∞
y=x наклонная асиптота

Answer 2

Для нахождения асимптот функции, нужно рассмотреть её поведение на бесконечности и в точках, где знаменатель обращается в нуль.

Давайте рассмотрим функцию \(y = \frac{x^3 - 1}{4x^2}\).

1. Асимптота при \(x \to \pm \infty\):

Посмотрим, что происходит, когда \(x\) стремится к бесконечности. Для этого рассмотрим старшие степени в числителе и знаменателе:

\[y = \frac{x^3}{4x^2} - \frac{1}{4x^2} = \frac{1}{4}x - \frac{1}{4x^2}.\]

Как видно, при \(x \to \infty\) первое слагаемое стремится к бесконечности, а второе к нулю. Таким образом, у функции есть горизонтальная асимптота при \(y = \frac{1}{4}x\).

2. Асимптота при \(x \to 0\):

Рассмотрим поведение функции при \(x \to 0\):

\[y = \frac{x^3}{4x^2} - \frac{1}{4x^2} = \frac{1}{4}x - \frac{1}{4x^2}.\]

Когда \(x\) стремится к нулю, первое слагаемое стремится к нулю, а второе к бесконечности (так как \(\frac{1}{x^2}\) стремится к бесконечности при \(x \to 0\)). Таким образом, у функции есть вертикальная асимптота при \(x = 0\).

Теперь рассмотрим функцию \(y = \frac{9x}{9 - x^2}\).

1. Асимптота при \(x \to \pm \infty\):

Посмотрим, что происходит, когда \(x\) стремится к бесконечности. Разделим числитель и знаменатель на \(x^2\):

\[y = \frac{9}{\frac{9}{x} - x}.\]

Когда \(x \to \inфty\), \(\frac{9}{x}\) стремится к нулю, а \(-x\) стремится к бесконечности, так что функция имеет вертикальную асимптоту при \(x = -\infty\). Аналогично, при \(x \to -\infty\) функция имеет вертикальную асимптоту при \(x = \infty\).

2. Асимптоты при \(x \to 3\) и \(x \to -3\):

Когда \(x \to 3\), знаменатель становится нулевым: \(9 - x^2 = 0\). Это значит, что у функции есть вертикальная асимптота при \(x = 3\). Аналогично, при \(x \to -3\) функция имеет вертикальную асимптоту при \(x = -3\).

Теперь рассмотрим функцию \(y = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}\).

1. Асимптота при \(x \to \infty\) и \(x \to -\infty\):

Разделим числитель и знаменатель на \(x\):

\[y = \frac{x - 1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}.\]

При \(x \to \infty\), \(\frac{1}{x}\) стремится к нулю, и функция приближается к \(y = x - 1\). При \(x \to -\infty\), \(\frac{1}{x}\) стремится к нулю, и функция снова приближается к \(y = x - 1\).

2. Асимптота при \(x \to 1\):

Когда \(x \to 1\), знаменатель становится нулевым: \(x - 1 = 0\). Это означает, что у функции есть вертикальная асимптота при \(x = 1\).

Итак, мы рассмотрели асимптоты для каждой из данных функций.