Question

Не выполняя построения найдите координаты точек пересечения парабола у=х²+3 и окружности х²+у²=17

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Чтобы найти точки пересечения параболы \(y = x^2 + 3\) и окружности \(x^2 + y^2 = 17\), нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнений параболы и окружности.

Сначала подставим выражение для \(y\) из уравнения параболы в уравнение окружности:

\[x^2 + (x^2 + 3)^2 = 17\]

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки и упростим:

\[x^2 + x^4 + 6x^2 + 9 = 17\]

Сгруппируем подобные члены:

\[x^4 + 7x^2 - 8 = 0\]

Это квадратное уравнение относительно \(x^2\). Решим его с помощью дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a = 1\), \(b = 7\), \(c = -8\). Подставим значения:

\[D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81\]

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два корня:

\[x^2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения и решим:

\[x^2 = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 \pm 9}{2}\]

Таким образом, получаем два возможных значения \(x^2\):

1. \(x^2 = 1\) (когда берем положительный знак в формуле), 2. \(x^2 = -8\) (когда берем отрицательный знак).

Далее найдем соответствующие значения \(y\) для каждого из этих \(x^2\) с использованием уравнения параболы \(y = x^2 + 3\):

1. При \(x^2 = 1\): \(y = 1 + 3 = 4\) 2. При \(x^2 = -8\): \(y = (-8) + 3 = -5\)

Таким образом, получаем две пары точек пересечения параболы и окружности:

1. \((1, 4)\) 2. \((-8, -5)\)

Это и будут координаты точек пересечения.