Question

(2cosx-sinx-2)(sinx-1)=cos^2x x принадлежит [-π/2;2π]

Answer 1

$(2cosx-sinx-2)(sinx-1)=cos^2x$

$2cosxsinx-2cosx-sin^2x+sinx-2sinx+2-cos^2x=0$

$2sinxcosx-2cosx-sinx-(sin^2x+cos^2x)+2=0$

$2sinxcosx-2cosx-sinx-1+2=0$

$2sinxcosx-2cosx-sinx+1=0$
  
$2cosx(sinx-1)-(sinx-1)=0$

$(2cosx-1)(sinx-1)=0$

$2cosx-1=0$   или  $sinx-1=0$

$cosx= \frac{1}{2}$  или $sinx=1$
$x=$±$\frac{ \pi }{3} +2 \pi k,$  k∈Z   или $x= \frac{ \pi }{2} +2 \pi n,$  n∈Z

1)  $x= -\frac{ \pi }{3} +2 \pi k$
$k=-1$     $x=- \frac{ \pi }{3} -2 \pi =- \frac{7 \pi }{6}$ ∉ $[- \frac{ \pi }{2} ;2 \pi ]$
$k=0$      $x=- \frac{ \pi }{3}$
$k=1$      $x=- \frac{ \pi }{3} +2 \pi = \frac{5 \pi }{3}$

2)  $x= \frac{ \pi }{3} +2 \pi k$
$k=-1$      $x= \frac{ \pi }{3} -2 \pi =- \frac{5 \pi }{3}$ ∉ $[- \frac{ \pi }{2} ;2 \pi ]$
$k=0$       $x= \frac{ \pi }{3}$
$k=1$       $x= \frac{ \pi }{3} +2 \pi$ ∉ $[- \frac{ \pi }{2} ;2 \pi ]$

3) $x= \frac{ \pi }{2} +2 \pi n$
$n=-1$       $x= \frac{ \pi }{2} -2 \pi$ ∉ $[- \frac{ \pi }{2} ;2 \pi ]$
$n=0$        $x= \frac{ \pi }{2}$
$n=1$        $x= \frac{ \pi }{2} +2 \pi$ ∉ $[- \frac{ \pi }{2} ;2 \pi ]$

Answer 2

Чтобы решить данное уравнение, нам нужно раскрыть скобки и привести все слагаемые к одной стороне уравнения. Давайте выполним эти шаги по порядку.

Раскрытие скобок:

(2cosx - sinx - 2)(sinx - 1) = cos^2x + x

Раскроем скобки:

2cosx * sinx - sinx^2 - 2sinx - 2cosx + sinx - 1 = cos^2x + x

Упрощение:

Приведем подобные слагаемые:

2cosx * sinx - sinx^2 - sinx - 2cosx - 1 = cos^2x + x

Теперь у нас все слагаемые находятся на одной стороне уравнения.

Приведение подобных слагаемых:

sinx^2 + sinx + 2cosx + cos^2x + x + 1 - 2cosx * sinx = 0

Теперь у нас уравнение приняло вид:

sinx^2 + sinx + cos^2x + x + 1 - 2cosx * sinx = 0

Использование тригонометрических тождеств:

Мы можем использовать тождество sin^2x + cos^2x = 1, чтобы заменить cos^2x:

sinx^2 + sinx + 1 + x + 1 - 2cosx * sinx = 0

Теперь у нас уравнение имеет вид:

sinx^2 - 2cosx * sinx + sinx + x + 2 = 0

Факторизация:

Мы можем провести факторизацию данного уравнения. Обратите внимание, что первый и последний члены являются квадратами, и второй и третий члены образуют линейное выражение:

(sinx - 1)(sinx + 1) - (cosx - 1)(cosx + 2) = 0

Решение:

Теперь, чтобы найти значения x, мы можем прировнять каждый множитель к нулю:

sinx - 1 = 0 или sinx + 1 = 0 или cosx - 1 = 0 или cosx + 2 = 0

Решим каждое уравнение по очереди:

1) sinx - 1 = 0:

sinx = 1

x = π/2

2) sinx + 1 = 0:

sinx = -1

x = 3π/2

3) cosx - 1 = 0:

cosx = 1

x = 0

4) cosx + 2 = 0:

cosx = -2

Уравнение не имеет решений, так как косинус x не может быть больше 1 или меньше -1.

Ответ:

Уравнение имеет следующие решения: x = π/2, x = 3π/2, x = 0. Эти значения x принадлежат интервалу [-π/2; 2π].