Question

Решите уравнение |x + 1| – |x| + 3|x – 1| – 2|x – 2| = x + 2

Answer 1

|x + 1| – |x| + 3|x – 1| – 2|x – 2| = x + 2;
Уравнение можно решить методом интервалов.
Находим нули модулей: -1; 0; 1; 2.
Нули модулей разбивают числовую прямую на промежутки:
(-∞;-1), [-1;0), [0;1), [1;2), [2;+∞).
Определяем знаки модулей на этих промежутках (это удобно делать в таблице):
          (-∞;-1), [-1;0), [0;1), [1;2), [2;+∞).
x+1         -           +       +       +        +
x             -           -        +       +        +
x-1          -           -        -       +         +
x-2          -           -        -       -         + 
Раскрываем модули,согласно таблице, и смотрим,чтобы полученное решение соответствовало промежутку:
(-∞;-1):-x-1+x-3x+32x-4-x-2=0; x=-2 ∈ (-∞;-1) - подходит;
[-1;0): x+1+x-3x+3+2x-4-x-2=0; 0≠2 - нет решений;
[0;1): x+1-x-3x+3+2x-4-x-2=0; x=-1 ∉ [0;1) - не подходит;
[1;2): x+1-x+3x-3+2x-4-x-2=0; x=-2 ∉ [1;2) - не подходит;
[2;+∞): x+1-x+3x-3-2x+4-x-2=0; 0=0 - это значит, что значение х=2 является решением уравнения.
Таким образом, получаем два решения х=-2 и х=2.
Это хорошо видно на графике.
Ответ: -2; 2.

Answer 2

Данное уравнение содержит модули и требует решения. Для начала, давайте разберемся с каждым модулем по отдельности.

Модуль числа x обозначается как |x| и имеет два возможных значения, в зависимости от знака x:

1) Если x ≥ 0, то |x| = x. 2) Если x < 0, то |x| = -x.

Теперь рассмотрим каждый модуль в данном уравнении и найдем его значения в зависимости от x.

Модуль |x + 1|: 1) Если x + 1 ≥ 0, то |x + 1| = x + 1. 2) Если x + 1 < 0, то |x + 1| = -(x + 1) = -x - 1.

Модуль |x + 2|: 1) Если x + 2 ≥ 0, то |x + 2| = x + 2. 2) Если x + 2 < 0, то |x + 2| = -(x + 2) = -x - 2.

Теперь подставим найденные значения модулей обратно в уравнение и продолжим его решение:

|x + 1| – |x| + 3|x – 1| – 2|x + 2| = x + 2

Разберемся с каждым слагаемым по отдельности:

1) |x + 1| – |x|: - При x ≥ 0: (x + 1) – x = 1 - При x < 0: -(x + 1) – (-x) = -x - 1 + x = -1

2) 3|x – 1|: - При x ≥ 1: 3(x - 1) = 3x - 3 - При x < 1: 3(-(x - 1)) = 3 - 3x

3) 2|x + 2|: - При x ≥ -2: 2(x + 2) = 2x + 4 - При x < -2: 2(-(x + 2)) = -2x - 4

Теперь подставим найденные значения и продолжим решение:

1 + x - 1 + 3x - 3 - 2x - 4 = x + 2

Упростим уравнение, объединяя подобные слагаемые:

x - 4 = x + 2

Перенесем все слагаемые с x на одну сторону уравнения:

x - x = 2 + 4

0 = 6

Получили противоречие! Уравнение не имеет решений.