Question

Сколько существует натуральных чисел, оканчивающихся на 2015, и уменьшающихся в целое число раз при вычеркивании этих цифр?

Answer 1

Для каждого натурального N существует единственная степень двойки 2k, для которой  N ≤ 2k < 2N.  Подставляя в это утверждение вместо N числа 10n–1, 2·10n–1 и 5·10n–1, получаем, что для любого n: 
    существует ровно одна n-значная степень двойки, десятичная запись которой начинается с цифры 1; 
    существует ровно одна n-значная степень двойки, десятичная запись которой начинается с цифры 2 или 3; 
    существует ровно одна n-значная степень двойки, десятичная запись которой начинается с одной из цифр 5, 6, 7, 8 или 9. 
  Из этого следует, что ровно 100 выписанных в условии чисел начинаются с единицы (по одному для каждого количества разрядов от 2 до 101), ровно 100 – с двойки или тройки, ровно 100 – с цифры, большей четверки, (по одному для каждого количества разрядов от 1 до 100). Значит, остается 33 числа начинающихся с четверки.

Answer 2

Давайте рассмотрим этот вопрос пошагово. Натуральные числа, оканчивающиеся на 2015, можно представить в виде \(10000n + 2015\), где \(n\) - любое натуральное число.

Теперь нужно определить, насколько такое число уменьшится, если мы вычеркнем эти цифры.

Чтобы уменьшить число в целое число раз, мы должны сделать следующее: вычесть 2015 из числа, полученного при вычеркивании последних четырех цифр. То есть, если \(x\) - это число, полученное при вычеркивании последних четырех цифр, у нас есть следующее уравнение:

\[x - 2015 = kx\]

Где \(k\) - целое число. Решая это уравнение, мы можем найти \(k\):

\[x - kx = 2015\] \[x(1 - k) = 2015\] \[x = \frac{2015}{1 - k}\]

Теперь, чтобы это число \(x\) было целым, \(1 - k\) должно быть делителем числа 2015. Так как 2015 = \(5 \times 13 \times 31\), то делители числа 2015: 1, 5, 13, 31, 65, 155, 403, 2015.

Теперь нам нужно проверить каждое значение \(k\) и узнать, какие из них соответствуют натуральным числам \(x\). Таким образом, мы найдем количество натуральных чисел, которые вычеркиванием четырех последних цифр становятся числами, оканчивающимися на 2015 и уменьшаются в целое число раз.

Попробуем вычислить эти значения: \[k = 1: x = \frac{2015}{1 - 1} = \text{не определено}\] \[k = 5: x = \frac{2015}{1 - 5} = -403\] \[k = 13: x = \frac{2015}{1 - 13} = -223.055\] \[k = 31: x = \frac{2015}{1 - 31} = -67.727\] \[k = 65: x = \frac{2015}{1 - 65} = -35.606\] \[k = 155: x = \frac{2015}{1 - 155} = -23.509\] \[k = 403: x = \frac{2015}{1 - 403} = -16.72\] \[k = 2015: x = \frac{2015}{1 - 2015} = 2015\]

Только при \(k = 2015\) мы получаем положительное натуральное число \(x\). Таким образом, только одно натуральное число удовлетворяет условиям: это число, оканчивается на 2015 и уменьшается в 2015 раз при вычеркивании последних четырех цифр.