Question

Даны координаты вершин четырехугольника ABCD: А (–6; 1), В (0; 5), С (6; –4), D (0; –8). Докажите, что ABCD – прямоугольник, и найдите координаты точки пересечения его диагоналей.

Answer 1

ДУМАЕМ (вспоминаем)
Свойства прямоугольника:
1. Стороны попарно параллельны.
2. Стороны попарно равны.
3. Стороны попарно перпендикулярны.
ДАНО 
Координаты вершин A, B, C, D.
НАЙТИ
1. Доказать - ABCD - прямоугольник.
2. Координаты точки пересечения диагоналей.
РЕШЕНИЕ
Уравнение прямой в общем виде - Y =kX+b.
1. Параллельность сторон - одинаковый наклон прямых АВ и CD и прямых AD и ВС - одинаковые коэффициенты - k.
Для прямой АВ. k1 = (By-Ay):(Bx-Ax) = (5-1)/(0 - (-6)) 4/6 = 2/3
Для прямой CD. k2 = (-4 -(-8))/(6-0) = 4/6 = 2/3
ВЫВОД 1 - коэффициенты k1= k2 - AB||CD.
Для прямой СВ. k3= (-4 - 5)/(6-0) = -9/6 = -3/2
Для прямой DA. k4= (-8 -1))/(0- (-6)) = -9/6 = - 3/2
ВЫВОД 2 - коэффициенты k3 = k4 - BC||DA
ВЫВОД 3 -стороны попарно параллельны.
2. Равенство сторон докажем через равенство гипотенуз в прямоугольных треугольниках по т. Пифагора.
АВ²= (5-1)² + (0-6)² = 25+36 = 61
CD² = 6²+(-4-(-8)² = 61
ВЫВОД 4 - стороны АВ и CD - равны.
ВС² = (5-(-4))² +(6-0)² = 9²+6² = 81+36 = 117.
AD² = (-8-1)²+ (-6-0)² = 117
ВЫВОД 5 - стороны ВС и CD- равны
ВЫВОД 6 - стороны попарно равны.
3. Перпендикулярность сторон докажем через коэффициенты наклоны прямых.
k1 = 2/3
k3 = -3/2
k1  = - 1/k2 -  
ВЫВОД 7 - коэффициенты обратны -стороны перпендикулярны.
ВЫВОД  8  -Четырехугольник ABCD - прямоугольник - ЧТД.
4. Координаты точки пересечения диагоналей - посередине каждой диагонали.
АО=ОС.  Ох=(Сх + Ах)/2 = (6 + (-6))/2 = 0.
ВО=OD.   Оу=(Ву + Dy)/2 = (5+(-8))/2 = -1.5
ОТВЕТ  Точка пересечения диагоналей О(0; -1,5).

Answer 2

Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, нам нужно выполнить два условия:

1. Диагонали должны быть перпендикулярными. 2. Противоположные стороны должны быть равными.

Давайте проверим оба эти условия.

1. Проверка перпендикулярности диагоналей:

Для того чтобы диагонали AC и BD были перпендикулярными, их произведение наклонов (угловых коэффициентов) должно быть равно -1. Найдем угловые коэффициенты для каждой диагонали.

Для диагонали AC, которая соединяет точки A(-6, 1) и C(6, -4):

Угловой коэффициент AC = (y2 - y1) / (x2 - x1) Угловой коэффициент AC = (-4 - 1) / (6 - (-6)) = (-5) / (12) = -5/12

Для диагонали BD, которая соединяет точки B(0, 5) и D(0, -8):

Угловой коэффициент BD = (y2 - y1) / (x2 - x1) Угловой коэффициент BD = (-8 - 5) / (0 - 0) = (-13) / 0

Угловой коэффициент BD бесконечность, так как знаменатель равен нулю.

Таким образом, диагонали AC и BD не могут быть перпендикулярными, так как угловой коэффициент BD не существует.

2. Проверка равенства противоположных сторон:

Для этого давайте вычислим длины сторон AB, BC, CD и DA, а затем сравним их.

AB: AB = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²] AB = √[(0 - (-6))² + (5 - 1)²] AB = √[6² + 4²] AB = √[36 + 16] AB = √52

BC: BC = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²] BC = √[(6 - 0)² + (-4 - 5)²] BC = √[6² + (-9)²] BC = √[36 + 81] BC = √117

CD: CD = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²] CD = √[(0 - 6)² + (-8 - (-4))²] CD = √[(-6)² + (-4)²] CD = √[36 + 16] CD = √52

DA: DA = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²] DA = √[(-6 - 0)² + (1 - (-8))²] DA = √[(-6)² + (9)²] DA = √[36 + 81] DA = √117

Как видно, длины сторон AB и CD равны (√52 = √52), и длины сторон BC и DA также равны (√117 = √117).

Однако, поскольку диагонали не перпендикулярны (по первому условию), а противоположные стороны не равны (по второму условию), мы не можем считать ABCD прямоугольником.

Теперь давайте найдем точку пересечения диагоналей. Для этого используем среднюю точку между точками A и C, а также между точками B и D:

Средняя точка между A и C: x_mid_AC = (x_A + x_C) / 2 = (-6 + 6) / 2 = 0 / 2 = 0 y_mid_AC = (y_A + y_C) / 2 = (1 + (-4)) / 2 = (-3) / 2 = -1.5

Средняя точка между B и D: x_mid_BD = (x_B + x_D) / 2 = (0 + 0) / 2 = 0 / 2 = 0 y_mid_BD = (y_B + y_D) / 2 = (5 + (-8)) / 2 = (-3) / 2 = -1.5

Таким образом, координаты точки пересечения диагоналей ABCD равны (0, -1.5).