Question

Помогите решить пожалуйста 1)x^2-x+lg cos x=1+lg cos x 2)sqrt(2x+2)=1-x

Answer 1

1) Первая задача - несложная, но если забыть про ОДЗ, можно получить неправильный ответ. Вместо выписывания ОДЗ (а здесь ОДЗ является объединением бесконечного числа интервалов, на которых cos x>0), мы в конце сделаем проверку. После приведения подобных членов получается квадратное уравнение

x^2-x-1=0; x_1=(1-√5)/2; x_2=(1+√5)/2.
С первым корнем все в порядке, потому что cos (x_1)>0 (x_1 очевидно принадлежит 4-й четверти).
Разберемся с x_2, который опасно близок к π/2. Для упрощения выкладки рассмотрим 2x_2=1+√5; докажем, что это число больше, чем число 3,2, которое, в свою очередь больше π=3,14159... 
Делается это так:
1+√5 сравниваем с 3,2;
между ними такой же знак, что и между 
√5 и 2,2 (если можно пользоваться тем, что √5=2,2..., то есть √5>2,2, на этом рассуждение заканчивается, если нельзя - возводим в квадрат √5 и 2,2; знак между ними при этом снова не изменится);
5 и 4,84.
поскольку 5>4,84⇒1+√5>π⇒x_2>π/2.
То, что x_2<π (а нам достаточно было бы даже <3π/2) очевидно⇒
cos(x_2)<0⇒x_2 отбрасываем.

Ответ: (1-√5)/2

2. Уравнение вида √u=v равносильно системе u=v^2; v≥0
(условие u≥0 при решении такого уравнения проверять не обязательно, так как его выполнение следует из написанной системы; впрочем, вольному воля, можете проверять и u≥0, хуже не будет (если, конечно, при решении этого неравенства Вы не допустите ошибку).

У нас: 2x+2=(1-x)^2; 1-x≥0;

2x+2=1-2x+x^2; x≤1;

x^2-4x-1=0; x≤1

x_1=2-√5<1; x_2=2+√5>1

Ответ: 2-√5

Answer 2

1) Рассмотрим первое уравнение: x^2 - x + lg(cos(x)) = 1 + lg(cos(x)).

Для начала, вычтем общее слагаемое lg(cos(x)) с обеих сторон уравнения, чтобы избавиться от него:

x^2 - x = 1.

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

x^2 - x - 1 = 0.

Мы получили квадратное уравнение, которое можно решить с помощью квадратного корня или метода факторизации. Однако, в данном случае, уравнение не имеет рациональных корней. Поэтому воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a.

В нашем случае, a = 1, b = -1, c = -1. Подставим значения и решим:

x = (1 ± √((-1)^2 - 4(1)(-1))) / 2(1).

x = (1 ± √(1 + 4)) / 2.

x = (1 ± √5) / 2.

Таким образом, решением уравнения x^2 - x + lg(cos(x)) = 1 + lg(cos(x)) являются два числа: x = (1 + √5) / 2 и x = (1 - √5) / 2.

2) Рассмотрим второе уравнение: sqrt(2x + 2) = 1 - x.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(2x + 2) = (1 - x)^2.

Раскроем квадрат справа:

2x + 2 = 1 - 2x + x^2.

Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

x^2 + 4x + 1 = 0.

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью квадратного корня или метода факторизации. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a.

В нашем случае, a = 1, b = 4, c = 1. Подставим значения и решим:

x = (-4 ± √(4^2 - 4(1)(1))) / 2(1).

x = (-4 ± √(16 - 4)) / 2.

x = (-4 ± √12) / 2.

x = (-4 ± 2√3) / 2.

x = -2 ± √3.

Таким образом, решением уравнения sqrt(2x + 2) = 1 - x являются два числа: x = -2 + √3 и x = -2 - √3.