Question

Решите неравенство log^6(x+1)+log^6(2x+1)<-1

Answer 1

Проще пареной репы. Сначала определим ОДЗ:
1+х > 0
x > -1
2*x+1 > 0
x > -1/2
ОДЗ х > -1/2
По свойству логарифмов сумма логарифмов равна логарифму произведения:
log6((1+x)*(2*x+1))=1
Избавляемся от знака логарифма по его определению:
(1+x)*(2*x+1)=6^1
2*x+2*x^2+1+x=6
Получаем квадратное уравнение относительно х:
2*x^2+3*x-5=0
Решаем:
х1,2=(-3+/-sqrt(9+40))/4=(-3+/-7)/4
x1=1
x2=-5/2, посторонний корень, не удовлетворяющий ОДЗ.
Ответ: х=1
Третьему отвечавшему - ОДЗ - неверно! Под знаком логарифма не может стоять НЕПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ число, а вовсе не число, меньшее единицы! Если основание логарифма больше 1, а число меньше 1, то просто значение логарифма будет ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ, вот и все!
О! Теперь верно!

Answer 2

Для решения данного неравенства с логарифмами, мы можем использовать свойства логарифмов и алгебраические преобразования. Давайте начнем.

Свойства логарифмов

Первым шагом мы можем использовать свойства логарифмов для объединения двух логарифмов в один:

log^6(x+1) + log^6(2x+1) < -1

Мы можем использовать свойство сложения логарифмов, чтобы объединить их в один логарифм:

log^6((x+1)(2x+1)) < -1

Перевод из логарифма в экспоненту

Далее, мы можем использовать свойство эквивалентности логарифма и экспоненты, чтобы перевести неравенство из логарифма в экспоненту. Для этого мы возведем обе стороны неравенства в степень 6:

((x+1)(2x+1))^6 < e^(-1)

Упрощение неравенства

Мы также можем упростить неравенство, используя свойства степени. Мы можем возвести обе стороны неравенства в степень 1/6:

((x+1)(2x+1)) < (e^(-1))^(1/6)

((x+1)(2x+1)) < e^(-1/6)

Решение неравенства

Теперь мы можем решить это квадратное неравенство. Для этого нам нужно упорядочить выражение и найти интервалы, на которых оно истинно.

((x+1)(2x+1)) < e^(-1/6)

Приведем выражение к стандартному виду:

2x^2 + 3x + 1 < e^(-1/6)

Теперь мы можем решить это неравенство. Однако, в данном случае, точное аналитическое решение может быть сложно получить. Мы можем воспользоваться численными методами или графическим представлением для определения интервалов, на которых это неравенство выполняется.

Воспользуемся графическим методом. Мы построим график функции y = 2x^2 + 3x + 1 - e^(-1/6) и найдем интервалы, на которых она находится ниже нуля.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = 2*x**2 + 3*x + 1 - np.exp(-1/6)

plt.plot(x, y)
plt.axhline(0, color='black', lw=0.5)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Graph of y = 2x^2 + 3x + 1 - e^(-1/6)')
plt.grid(True)
plt.show()

По графику, мы можем определить интервалы, на которых неравенство выполняется. В данном случае, я не могу предоставить вам точные значения интервалов, так как требуется численный анализ, но вы можете использовать график для приблизительного определения интервалов.

Таким образом, решение данного неравенства представляется интервалами, на которых выражение ((x+1)(2x+1)) меньше значения e^(-1/6).