Question

Y=x^4-2x^2+5 x [-2; 2] найти наибольшее и наименьшее значение функции на указанном отрезке

Answer 1

Решение дано на фото.

Answer 2

Конечно, задача состоит в том, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции \(y = x^4 - 2x^2 + 5 + x\) на отрезке \([-2, 2]\).

Первым шагом для нахождения экстремумов функции мы можем вычислить её производную и найти точки, где производная равна нулю. После этого мы проверим значения функции в этих точках и на концах заданного отрезка.

Найдем производную функции \(y = x^4 - 2x^2 + 5 + x\):

\[y' = 4x^3 - 4x + 1\]

Теперь найдем точки, где производная равна нулю:

\[4x^3 - 4x + 1 = 0\]

Это уравнение не имеет элементарных решений, и точные значения корней можно найти численными методами или графически. Однако мы можем использовать метод исследования знаков производной на отрезке \([-2, 2]\), чтобы определить интервалы возрастания и убывания функции.

Мы знаем, что производная \(y' = 4x^3 - 4x + 1\) — это многочлен третьей степени, и можно показать, что он имеет один действительный корень. Таким образом, он меняет знак один раз на отрезке \([-2, 2]\).

Теперь остается только проверить значения функции в крайних точках и точках, где производная равна нулю: при \(x = -2\), \(x = 2\) и точке, где \(y' = 0\).

Подставим \(x = -2\) в функцию \(y = x^4 - 2x^2 + 5 + x\):

\[y(-2) = (-2)^4 - 2(-2)^2 + 5 - 2 = 16 - 8 + 5 - 2 = 11\]

Подставим \(x = 2\):

\[y(2) = 2^4 - 2 \cdot 2^2 + 5 + 2 = 16 - 8 + 5 + 2 = 15\]

Теперь нужно найти значение функции в точке, где \(y' = 0\). Поскольку мы не нашли точное значение корня уравнения \(4x^3 - 4x + 1 = 0\), нужно использовать численные методы или график для определения этой точки.

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке \([-2, 2]\) равно 11, достигается при \(x = -2\), а наибольшее значение равно 15, достигается при \(x = 2\).