Question

Найти вектор х ,зная,что х⊥а,а=(1;0;1),х⊥в ,в=(0;2;-1),проекция вектора х на вектор с =(1;2;2) равна 1 .

Answer 1

Запишем условие перпендикулярности векторов

x1*1+x2*0+x3*1=0
x1*0+x2*2+x3*(-1)=0
 (x1;x2;x3) - координаты вектора х.
найдем длину вектора с; √(1^2+2^2+2^2)=3
проекция вектора х на вектор с равна
(x1+2x2+2x3)/3=1
мы получили систему трех уравнений

x1+x3=0                            x1=-x3 
2x2-x3=0                          x3=2x2  x2=1/2x3
x1+2x2+2x3=3                  -x3+x3+2x3=3  x3=3/2  x1=-3/2  x2=3/4

ответ вектор х имеет координаты (-3/2; 3/4; 3/2)

Answer 2

Для решения этой задачи используем свойство ортогональности векторов. Если вектор \( \mathbf{x} \) ортогонален вектору \( \mathbf{a} \) и параллелен вектору \( \mathbf{v} \), то его можно представить в виде суммы проекций на векторы \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{v} \):

\[ \mathbf{x} = \alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{v} \]

где \( \alpha \) и \( \beta \) - коэффициенты, которые нужно найти.

Так как \( \mathbf{x} \) ортогонален \( \mathbf{a} \), то скалярное произведение \( \mathbf{x} \) и \( \mathbf{a} \) равно нулю:

\[ \mathbf{x} \cdot \mathbf{a} = \alpha (\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}) + \beta (\mathbf{v} \cdot \mathbf{a}) = 0 \]

Аналогично, так как \( \mathbf{x} \) параллелен \( \mathbf{v} \), проекция \( \mathbf{x} \) на \( \mathbf{v} \) равна:

\[ \text{proj}_{\mathbf{v}}(\mathbf{x}) = \beta (\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}) \]

Теперь у нас есть два уравнения, которые мы можем использовать для определения \( \alpha \) и \( \beta \):

1. Скалярное произведение \( \mathbf{x} \) и \( \mathbf{a} \) равно нулю. 2. Проекция \( \mathbf{x} \) на \( \mathbf{v} \) равна 1.

Давайте решим систему уравнений:

\[ \alpha (\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}) + \beta (\mathbf{v} \cdot \mathbf{a}) = 0 \]

\[ \beta (\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}) = 1 \]

Где \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} \) и \( \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} \) - это скалярные произведения векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{v} \) соответственно.

Давайте выразим \(\alpha\) и \(\beta\) через данные векторы и решим систему уравнений.