Question

Пуcть, имеетcя треугoльник cо cторонами МN=26 cм, MK=26 cм и NK=20 cм. B нём раcполaгаютcя двe pавные каcaющиеcя oкружнocти, каждaя из ниx каcaетcя двyx cтоpoн треyгoльника. Нaйти: рaдиycы oкpyжнocтeй...

Answer 1

Треугольник $MNK$- равнобедренный , если опустить высоту $MH \\H \in NK$ 
$HK=10\\ MH = \sqrt{26^2-10^2}=24$ 
тогда радиус в прямоугольном  треугольнике 
$r=\frac{10+24-26}{2} = 4$  
Ответ $r_{1}=4\\ r_{2}=4$

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами треугольников и касающихся окружностей.

Обозначим центры касающихся окружностей через O1 и O2, а их радиусы через r.

1. Равенство радиусов окружностей: Окружности, касающиеся сторон треугольника, равны между собой. Таким образом, r = r1 = r2.

2. Свойства треугольника: В треугольнике MNK, найдем высоту, опущенную из вершины M (высоту, проведенную к стороне NK). Обозначим эту высоту через h.

Используем формулу для площади треугольника:

\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \]

\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \times NK \times h \]

Также, площадь треугольника можно выразить через его стороны по формуле Герона:

\[ \text{Площадь} = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)} \]

где \( p = \frac{a + b + c}{2} \) - полупериметр треугольника, а a, b, c - длины сторон.

У нас a = MN = 26, b = MK = 26, c = NK = 20.

Таким образом,

\[ \frac{1}{2} \times 20 \times h = \sqrt{\frac{72}{2} \cdot \frac{22}{2} \cdot \frac{6}{2} \cdot \frac{16}{2}} \]

Решив уравнение, найдем h.

3. Нахождение радиусов окружностей: Используем найденное значение h для вычисления радиусов окружностей.

\[ r = \sqrt{h^2 + \left(\frac{NK}{2}\right)^2} \]

Таким образом, мы найдем радиусы окружностей.

После решения этих шагов вы сможете получить значения радиусов окружностей, касающихся сторон треугольника MNK.