Question

Задача. для выполнения работы из бригады в 12 человек нужно отобрать от 3 до 5 человек. Сколькими способами это можно сделать

Answer 1

Можно отобрать бригаду в 3, 4 и в 5 человек.
В бригаду из 3 человек первого можно выбрать 12 способами, второго- 11, третьего-10; ⇒собрать бригаду из 3 человек можно 12×11×10=1320 способами;
В бригаду из 4 человек первого можно выбрать 12 способами; второго- 11, третьего-10; четвёртого-9; ⇒собрать бригаду из 4 человек можно 12×11×10×9=11880 способами;
В бригаду из 5 человек первого можно выбрать 12 способами; второго- 11, третьего-10; четвёртого-9; пятого-8; ⇒собрать бригаду из 5 человек можно 12×11×10×9×8=95040 способами;
Всего собрать бригаду можно 1320+11880+95040=108240 способами.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой сочетаний. Сочетание без повторений из \( n \) элементов по \( k \) элементов обозначается как \( C_n^k \) и вычисляется по формуле:

\[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где \( n! \) (читается как "n факториал") - это произведение всех положительных целых чисел от 1 до \( n \). Теперь давайте применим эту формулу к вашей задаче.

У вас 12 человек в бригаде, и вы хотите отобрать от 3 до 5 человек. Таким образом, вы должны сложить результаты для \( k = 3, 4, 5 \):

\[ C_{12}^3 + C_{12}^4 + C_{12}^5 \]

Рассчитаем каждое из этих сочетаний:

1. \( C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} \) 2. \( C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} \) 3. \( C_{12}^5 = \frac{12!}{5!(12-5)!} \)

Посчитаем числитель и знаменатель для каждого случая, а затем сложим результаты.

\[ C_{12}^3 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220 \] \[ C_{12}^4 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495 \] \[ C_{12}^5 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 792 \]

Теперь сложим эти значения:

\[ 220 + 495 + 792 = 1507 \]

Таким образом, есть 1507 способов выбрать от 3 до 5 человек из бригады в 12 человек.